基于悬链线型的斜拉索自由振动特性分析

李 暾 ，肖志豪 ，杨雄伟

（1.广西科技大学 土木建筑工程学院，广西 柳州 545006；2.西南交通大学 土木建筑工程学院，四川 成都 611731）

斜拉桥由于其诸多优点得到越来越广泛的应用，但斜拉桥的拉索质量小、阻尼小、柔度大，很容易发生风致振动，这就给桥梁的运营和安全带来了隐患，因此，研究斜拉索的振动就显得十分必要。目前，斜拉索振动方面的研究已由线性振动阶段进入了非线性振动阶段。 H.M.Irvine［1］、I.A.Hassan［2］和 H.Yamaguchi等［3］研究了斜拉索的三维线性振动理论和有关参数对斜拉索振动频率的影响。左晓宝等［4］建立了斜拉索在平面内发生横向振动的非线性自由振动方程，但没有考虑抗弯刚度。吴晓等［5］研究了斜拉索的非线性固有振动特性。高永强等［6］研究了弯曲刚度的斜拉索的固有振动特性。姜健等［7］研究了拉索平面内自由振动的影响因素。赵跃宇等［8］研究了斜拉索面内振动和面外摆振的耦合。以上研究涉及的都是抛物线型拉索。随着斜拉索长度的增加，抛物线型拉索的计算精度越来越低。刘志军等［9］考虑了抗弯刚度和垂度对斜拉索的影响，建立了在平面内发生横向振动的非线性自由振动方程，但该方程是斜拉索静止时的无量纲化曲线方程，与真实情况有一定的差距。袁从森等［10］考虑了斜拉索重量的弦向分量对斜拉索非线性振动产生的影响，建立了非线性自由振动方程，并采用更精确的函数来逼近垂度悬链线，但这和实际情况仍有一定的差距。在本文中，我们先在拉索质量沿轴向均匀分布的条件下给出悬链线型表达式，在考虑拉索抗弯刚度和拉索垂度的基础上建立拉索面内的非线性自由振动微分方程，通过Galerkin法将此微分方程转化为常微分方程，并通过龙格-库塔法对其进行数值求解，再分析抛物线型拉索与悬链线型拉索产生自由振动的差异，研究拉索长度、线质量、张力和倾角分别与两种线型拉索的自振频率、垂度影响系数的关系。

1 悬链线型拉索的自由振动微分方程

在不考虑拉索轴向振动的条件下，拉索在y轴方向上的平衡方程和振动微分方程分别为在式（1）和式（2）中：为拉索质量；和分别为拉索轴向静态和动态张力；为拉索沿y轴方向的阻尼系数；E为拉索弹性模量；I为拉索截面惯性矩；为拉索倾角；g为重力加速度；v为拉索单元沿y轴方向的动位移；x轴为过拉索两端的直线；y轴为拉索面内振动方向，向下为正。

根据Green-Lagrange应变-位移关系，通过适当简化可以得出拉索的轴向应变

和悬链线的静态线型表达式［11］

其中，L为拉索长度，H0为静力平衡状态下的拉力水平分量。

对式（7）求导，可得

根据Galerkin法，可设

将式（8）和式（9）代入式（3）中，可得

对式（10）沿拉索轴向积分，可得

拉索轴向动态张力 τ 近似为时间t的函数，故有

其中A为拉索界面面积。

将式（8）和式（9）代入式（2），整理后可得

将式（12）代入式（14）中，整理后可得

2 单模态分析

为了对悬链线型和抛物线型进行比较，由以拉索风雨激振理论模型［12］为基础的抛物线型拉索的自由振动微分方程可知，悬链线型和抛物线型拉索的自由振动微分方程均是多模态耦合的。若将方程中的各模态对第n阶模态自振频率影响系数和各模态对第n阶模态影响系数去掉，即得到拉索单模态自由振动微分方程

在式（25）和式（26）中，两种线型下拉索单模态自由振动的各阶模态的自振频率为

式（25）~式（28）中符号含义及表达式与前文的一致。

3 算例及分析

3.1 拉索参数

以白沙洲长江大桥上的拉索为例进行分析，该拉索为大桥2号墩上的C20号拉索，其长度为331.013 6 m，横截面积为6.273×10-3m2，线质量为51.8 kg/m，弹性模量为 1.95×105MPa，截面惯性矩为 3.5×10-6m4，初始张力为2 002 kN，拉索倾角为24.397 6°。

3.2 悬链线型与抛物线型的差异

从式（27）和式（28）可以看到，在采用悬链线型和抛物线型建立的模型中，拉索的固有频率是相同的，抗弯刚度对拉索各阶频率影响系数也是相同的，各阶自振频率之间的差异是由拉索垂度的不同造成的，而影响拉索垂度的因素包括拉索长度、拉索线质量、拉索张力以及拉索倾角。无论采用哪种线型，对于偶数阶模态，垂度对拉索振动频率的影响系数都为0，因此只需比较奇数阶模态自振频率。

拉索的长度范围非常大，短的只有十几米，长的可达600 m［13］。表1为当拉索长度发生变化，其他参数保持不变时，两种线型拉索各阶模态自振频率的计算结果。表2为当拉索线质量发生变化，其他参数保持不变时两种线型拉索各阶模态自振频率的计算结果。通常情况下，拉索承受的张力很大，单根拉索的张力可达30 000 kN［14］，实际上拉索的张力没有这么大。表3为当拉索张力发生变化，其他参数保持不变时，两种线型拉索各阶模态自振频率的计算结果。表4为当拉索倾角发生变化，其他参数保持不变时，两种线型拉索各阶模态自振频率的计算结果。

表1 不同长度下两种线型拉索的各阶模态的自振频率

表2 不同线质量下两种线型拉索的各阶模态的自振频率

表3 不同张力下两种线型拉索的各阶模态的自振频率

表4 不同倾角下两种线型拉索的各阶模态的自振频率

从表1~表3可以看出，当采用不同线型拉索时，只有第1阶自振频率的差异相对较大，其他各阶自振频率值虽然不完全相同，但它们差异可以忽略不计，而且阶数越高，差异越小。另外，拉索越长，单位拉索质量越大，拉索张力越小，两种线型的自振频率差异就越大。

从表4可以看出，随着拉索倾角的增大，这两种线型拉索自振频率的差异也在逐渐增大。与表1~表3中数据不同的是，虽然随着拉索长度的增加、单位拉索质量增加及拉索张力减小，这两种线型的自振频率的差距不断增大，但其变化趋势是一致的。当拉索倾角增大时，悬链线型的自振频率逐渐增大，而抛物线型的自振频率逐渐减小。

为了找出原因，分析一下两种线型下拉索单模态自由振动时第n阶自振频率和的表达式，即式（27）和式（28）。首先，从这两个式子可以看出，拉索固有频率以及弯曲刚度的影响是相同的，因此和之间的差异是由垂度项和的不同引起的。 其次，影响垂度项和的因素有拉索长度L、拉索线质量拉索张力和拉索倾角，而拉索参数L、Mc和T0对和也有影响，因此，虽然和的差异仅由垂度项引起，但差异的大小取决于拉索的参数。

图1分别反映了拉索长度、线质量、张力、倾角与两种线型拉索第1阶自振频率的关系。分析各参数对两种线型拉索其他阶自振频率的影响，可以得出以下结论：两种线型的拉索长度、线质量和张力对拉索自振频率的影响趋势基本一致，而两种线型的拉索倾角对拉索自振频率的影响的趋势正好相反。

图2分别反映了拉索长度、线质量、张力和倾角与两种线型第1阶垂度影响系数的关系。分析拉索各参数对两种线型的其他阶垂度影响系数的影响，可以得出如

图1 各参数与两种线型拉索的第1阶自振频率的关系

3 结论

在本文中，我们导出了基于悬链线型连续拉索的自由振动微分方程，并对拉索自由振动特性做了单模态分析。抛物线型作为悬链线型的近似线型，自振频率与悬链线型的非常接近，但又有差异。通过算例分析，我们得出以下结论：1）采用悬链线型和抛物线型所得到的拉索各阶模态的自振频率非常接近，但还存在一定的差异，模态阶数越高，差异越小，且差异是由垂度项引起的。2）悬链线型拉索和抛物线型拉索各阶模态的自振频率除第1阶略有差异外，高阶自振频率差异很小。拉索越长、张力越小、线质量越大以及倾角越大，两种线型的自振频率差异也就越大。3）两种线型的垂度影响系数随拉索长度、线质量和张力的变化具有相下结论：低阶垂度影响系数随拉索长度的增加而变大，高阶垂度影响系数基本上不受拉索长度变化的影响。低奇数阶垂度影响系数随拉索线质量的增加而变大，高奇数阶垂度影响系数和偶数阶垂度影响系数基本上不受拉索线质量变化的影响。低奇数阶垂度影响系数随拉索张力的增大而变小，高奇数阶和偶数阶垂度影响系数基本上不受拉索张力变化的影响。对于悬链线型拉索，低奇数阶垂度影响系数随拉索倾角的增大而变大，高奇数阶和偶数阶垂度影响系数基本上不受拉索倾角变化的影响；对于抛物线型拉索，低奇数阶垂度影响系数随拉索倾角的增大而变小，高奇数阶和偶数阶垂度影响系数基本上不受拉索倾角变化的影响。同的变化趋势。这两种线型的垂度影响系数随拉索倾角的变大变化趋势正好相反。拉索倾角相同时，悬链线型垂度影响系数要比抛物线型垂度影响系数大。

图2 各参数与两种线型的第1阶垂度影响系数的关系