一个易错的圆锥曲线结论及其证明

摘 要：本文提供了一个来自焦点三角形面积最大值问题的绝佳反例，以此说明直觉得到的“结论”并不一定准确，并从解析几何的应用技巧上提供了四种不同证法.

关键词：焦点三角形;面积;最大值

作者简介：张日堂（1978-），男，广东阳春人，本科，中学二级教师，研究方向：高考数学教学.

1 问题呈现

问题 已知椭圆x24+y23=1，左右焦点分别为F1和F2，且过点F2的直线交椭圆于A，B两点，求ΔF1AB内切圆半径的取值范围.

2 问题剖析

该问题来源于课本的一道习题，原问题涉及到一个顶点在一个焦点，底边是过另外一个焦点的弦的所谓“焦点三角形”问题，不过原问题是求“焦点三角形”的周长.由椭圆的定义知，“焦点三角形”ΔABF1的周长为定值4a.又因为对任意三角形，其内切圆的半径r，面积SΔ和周长 l之间有关系r=2SΔl，故求内切圆半径的取值范围，即是求△ABF1的面积的取值范围.当直线AB“贴近”x轴时，面积趋向0，所以我们只需确定三角形面积的最大值，问题等价转换成求该“焦点三角形”的面积的最大值，在周长固定的“焦点三角形”中，求其面积的最大值，也变成了一个有意思和有价值的数学问题.由于ΔABF1的面积可以分为ΔAF1F2与ΔBF1F2的面积的和，故三角形的面积的取值范围由yA-yB决定.从直觉来看，在AB⊥x轴时，yA-yB最大，ΔABF1的面积最大.

原题中，通过几何画板动态演示（如图1，2对比），可以验证当AB⊥x 轴时，ΔABF1的面积最大.

是否对任意椭圆，都是在AB⊥x轴时，ΔABF1的面积最大？事实上，通过几何画板软件的演示可以发现，当椭圆较“扁”时结论并不正确.如图3，4对比所示，下面情形的三角形面积就不是在AB垂直于x轴时最大，所以原猜想结论并不准确.

3 引申结论

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，过点F2作直线AB与椭圆相交于点A，B，求ΔABF1的面积的最大值.

经过细致探究，得到结论：若椭圆离心率e∈（0，22），则当AB⊥x轴时，ΔABF1的面积最大，最大值为2b2 a2-b2a;若椭圆离心率e∈[22，1），则当直线斜率k=±ba2-2b2a2-2b2时，ΔABF1的面积的最大，最大值为ab.

4 结论证明

证法1 （使用一般设方程方式）①若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x=c.

代入椭圆方程可求得Ac，b2a，Bc，-b2a，此时

SΔABF1=12×2c×b2a×2=2b2ca=2b2 a2-b2a.

②若直线AB的斜率存在，設为kk≠0，则直线AB的方程为y=kx-c，得x=yk+c.代入椭圆方程得 a2k2+b2y2+2b2cky+（b2c2-a2b2）k2=0.

即a2k2+b2y2+2b2cky-b4k2=0.

由韦达定理得，

y1+y2=-2b2cka2k2+b2，y1y2=-b4k2a2k2+b2.

y1-y2=y1+y22-4y1y2

=4b4c2k2a2k2+b22+4b4k2a2k2+b2

=4b4c2k2+4b4a2k4+4b6k2a2k2+b22

=4b4a2k2+4b4a2k4a2k2+b2

=2ab2 k2+k4a2k2+b2.

令t=k2>0，

记f（t）=2ab2 t+t2a2t+b22=4a2b4t+t2a2t+b22，则f ′（t）

=4a2b41+2t·a2t+b22-4a2b4t+t2·2a4t+2a2b2a2t+b24

=4a2b4[（2a2b2-a4）t2+2b4t+b4]（a2t+b2）4

=4a2b4[（2b2-a2）t+b2]（a2t+b2）3

若2b2-a2≥0，则恒有f ′（t）>0.所以函数f（t）在（0，+∞）上是增函数.即k2增大时，y1-y22在增大，这时y1-y2也在增大，当k2→+∞时，有

SΔABF1=12×2c×y1-y2=c×y1-y2=c×2ab2a2 1-1k2+1+b2 1k2+k4→2b2 a2-b2a.

故当AB⊥x 轴时，ΔABF1的面积最大.

此时SΔABF1=2b2 a2-b2a.

若2b2-a2<0时，则在（0，b2a2-2b2）上f ′（t）>0，在（b2a2-2b2，+∞）上f ′（t）<0，故当t=b2a2-2b2时f（t）最大.从而y1-y2最大.

此时（SΔABF1）max=12×2c×y1-y2=c×y1-y2=2ab2c·a2b2-b42a2b2-2b4=ab.

证法2 （引进倾斜角转换）前面同解法1，记直线AB的倾斜角为α，则tanα=k.

由y1-y2=2ab2 k2+k4a2k2+b2=2ab2 （tan2α+1）tan2αa2tan2α+b2=2ab2c2sinα+b2sinα得，

（1）当b≤c时，由基本不等式得，

y1-y2=2ab2c2sinα+b2sinα≤2ab22 c2sinα·b2sinα=abc.

所以SΔABF1=12×2c×y1-y2≤c·abc=ab，当且仅当c2sinα=b2sinα，即sinα=bc≤1

时，ΔABF1的面积最大，最大值为ab.

（2）当b>c时，记t=sinα（0

f ′（t）=c2-b2t2=c2t2-b2t2<0，故f（t）是减函数，y1-y2=2ab2c2t+b2t是增函数.

所以当sinα→1，y1-y2→2b2a，从而当AB⊥x轴时，ΔABF1的面积最大，最大值为2b2 a2-b2a.

证法3 （改变设直线方程方式）设直线AB的方程为x=ky+c，与方程x2a2+y2b2=1a>b>0联立并整理得，

（a2+b2k2）y2+2cb2ky-b4=0.

由韦达定理得，

y1+y2=-2cb2ka2+b2k2，y1·y2=-b4a2+b2k2.

所以y1-y2=（y1+y2）2-4y1y2=2b2a1+k2a2+b2k2，SΔABF1=2acb2 1+k2a2+b2k2.

设k2+1=m（m≥1），

则SΔABF1=2acb2 1+k2a2+b2k2=2acb2ma2+b2（m2-1）=2acb2mb2m2+c2=2acb2b2m+c2m.

记函数f（m）=b2m+c2m，则f ′（m）=b2-c2m2=b2（m2-c2b2）m2，当c>b，f（m）最小值2bc，（SΔABF1）max=ab，此时k=±ba;当c≤b，f（m）的最小值为a2，（SABF1）max=2cb2a，

此时k=0.

证法4 （使用直线参数方程）设直线AB的倾斜角为α，则α≠0.

直线AB的参数方程为x=c+tcosα，y=tsinα， （t为参数），代入x2a2+y2b2=1并整理得，

（b2+c2sin2α）t2+2cb2cosα·t-b4=0.

由韦达定理得，

t1+t2=-2cb2cosαb2+c2sin2α，t1t2=-b4b2+c2sin2α.

所以t1-t2=（t1+t2）2-4t1t2

=4b4c2cos2α（b2+c2sin2α）2+4b4b2+c2sin2α

=2ab2b2+c2sin2α.

SΔABF1=SΔAF1F2+SΔBF1F2=ct1-t2sinα=2ab2csinαb2+c2sin2α=2ab2cb2sinα+c2sinα.

（1）當b≤c时，SΔABF1≤2ab2c2 c2sinα·b2sinα=ab（当且仅当c2sinα=b2sinα，即

sinα=bc≤1时等号成立）.

（2）当b>c时，c2sinα+b2sinα=c2sinα+c2sinα+b2-c2sinα≥2c2+b2-c2sinα

≥2c2+b2-c2=a2（当且仅当sinα=1时等号成立）.

所以SΔABF1=2ab2cb2sinα+c2sinα≤2b2 a2-b2a.

参考文献：

[1]徐俊峰. 椭圆中焦点三角形问题的求解策略J.数学之友，2014（03）：76-77+79.

[2]斯理炯. 高中数学竞赛专家讲座——解析几何 M.杭州：浙江大学出版社，2018.

（收稿日期：2019-07-07）