HPM视野下数学教学的智性实践

彭小霞

摘 要：将数学史融入数学教学是数学史走进数学教学最为重要的方式。数学知识的发生史和学生数学学习心理律是融入式教学展开的前提和基础。将历史融入数学教学，通常有融通式教学、浸润式教学和创生式教学。

关键词：HPM；数学教学；智性实践

数学史与数学教育之间的关系早已受到欧美数学家重视，但正式引起大家关注的是1972年第二届国际数学教育大会上成立的“数学史与数学教学关系国际研究小组”，即“History and Pedagogy of Mathematics”，亦即后来广为人知的“HPM”。数学史融入数学教学已经成为一种自觉。汪晓勤教授总结了数学史走进数学教学的四种方式，即附加式、复制式、顺应式和重构式。在数学教学中，四种方式均能发挥数学史的作用。其中，教师运用得最多的是附加式、复制式等。对于顺应式、重构式，数学实践还是研究得较少。一方面，是因为前面几种方式是一种显性运用，后面几种方式是一种隐性运用；另一方面，顺应式、重构式（尤其是重构式）对教师的素养提出了很高的要求。因此，加强以融通、浸润、创生等方式为主的重构数学史教学，应该成为HPM视野下数学教学研究的应有之为和应然之举。

一、融入式教学：前提和基础

尽管数学史为数学的历史，但融入数学教学之中，就不仅是为数学而历史，更是为教育而历史。著名数学史家M.克莱因（M.Kline，1908—1992）认为，“历史是教学的指南”。匈牙利著名数学家、数学教育家波利亚（G.Polya，1887—1985）深刻指出，“只有理解人类如何获得某些事实或概念知识，我们才能对人类孩子应该如何获得这种知识做出更好的判断”。融入式教学，需要教师洞察数学知识发生史以及学生数学现实。

1. 数学知识发生史

研究数学知识的发生史，主要有两方面内容：一是数学知识发展进程中的关键节点，数学知识发展进程中的关键步子。这些关键节点、步子往往是数学知识发生的关键阶段，在数学中体现为概念、定义、法则、定理等，比如“十进制计数法”“完美数”等。二是数学知识发展进程中人类的认知困惑、障碍、冲突及解决策略、方法、思想等，在数学中体现为知识超越、发展和演进，比如“小数的诞生”“负数的诞生”等。数学知识发展的关键阶段、节点有助于洞悉数学知识本质；而数学知识发展进程中人类的认知困惑、障碍有助于预测学生数学学习困难。梳理数学知识发展史，通常有两种方式：一是按时间顺序，这个顺序通常也就是数学知识的演进顺序，这是一种线性教学；二是以某个数学知识点为核心，逻辑组织数学材料，这是一种辐射性教学。无论是哪一种数学材料组织方式，都能让数学知识获得历史重建。

2. 学生学习心理律

融入数学史的教学，教师要尊重学生数学学习现实。学生数学学习现实不仅包括学生已有知识结构、认知结构，而且包括学生认识心理。每一个年龄阶段的学生，其心理规律和特征是不一样的。一般而言，低年级学段学生更偏重直观动作思维，中年级学段学生偏重具体形象思维，高年级学段学生已开始向抽象逻辑思维过渡。不仅要把握学生思维规律，而且要把握学生注意、记忆规律等。这些心理特质是学生数学学习的心理前提。南京大学哲学系教授郑毓信从科学哲学和科学史知识社会学角度分析了教师对数学知识进行方法、文化重建的必要性。其中，“方法重建”主要是让数学知识内容成为学生可理解的内容，而“文化重建”则是让数学知识内容成为学生可探究、可发现、可运用、可推广的内容。以《认识厘米》教学为例，通常情况下，教师注重让学生建立厘米的长度表象，重视用厘米尺测量物体长度，但对厘米的认知，还缺乏从方法和文化视角进行的研究。从方法论来说，测量长度的单位需要统一；从文化上来说，因实际需要而产生了长度单位。因此，在教学中，教师要让学生感受到厘米产生的必要性，引导学生协商、创造。

二、融入式教学：实践与创造

融入数学史教学，可以借鉴弗赖登塔尔的“再创造”方法。弗氏强调：学生学习数学的唯一方法就是“再创造”，也就是由学生本人将所要学习的数学知识建构并创造出来。显然，弗氏所强调的“再创造”，并不是数学知识原创，而是经由教师指引，重蹈人类探索数学知识的关键步子。正如弗氏所说，“历史正是通过避免走盲目的道路，通过缩短大量弯曲小道，通过历史自己重新组织的道路系统来修正自己”。

1. 融通式教学，让“史”荡漾眼前

HPM认为，数学教学不仅仅是数学知识的罗列，更是围绕数学史启迪展开的。“历史是教学的指南”。只有洞察人类探索数学知识的历史，才能更好地服务于人类孩子的认知。许多数学知识，只有置于数学史中，才能被正确认知和理解。融通式教学，就是通过创设历史化情境，让学生经历数学知识探究历程。只有教师将数学历史融入数学教学之中，学生才能居高临下、高屋建瓴，深刻洞察数学知识的本质。

以《圆的面积》教学为例，笔者首先创设了一个生活化情境：一块圆形菜地，如何测量面积？这是一个现实问题，能让学生体验到圆面积计算的必要性。接着，引导学生思考：圆面积和以前所学平面图形的面积有怎样的不同？旨在让学生明晰：以前所学的平面图形都是直线图形，而圆是一种曲线图形。因此，问题解决的关键是将曲线图形转化为直线图形，比如转化成三角形、梯形、平行四邊形、长方形等。由此，渗透古代有限次分割圆，近似求出圆面积。最后，借助新媒体课件，将圆无限分割，让学生体验“无穷”（这是古希腊人没有逾越的一道坎）。这个过程，就是圆面积在数学史上的发生、发展过程，体现了人类对圆面积的执着探索。

在数学史家克莱因看来，教师的职责是让学生洞察数学知识是一个有机整体。克莱因认为，许多数学知识只有在历史长河中才能更好地被理解。站在数学史视角中审视、理解数学知识，能让我们获得数学知识的更好领悟。

2. 浸润式教学，让“史”游弋其中

HPM认为，融入数学史，要营造一种蕴含历史知识、文化、气息的场域，让学生沉浸在浓浓的历史文化场中。数学知识是人类“生命·实践”活动的智慧结晶。教学中，如果能营造一种历史氛围，激发学生数学知识的历史创造，就能让学生感受、体验到数学知识中所蕴含的思想方法，深切地感受到数学的神奇力量。

比如，教学苏教版三年级下册的《年、月、日》，在学生根据日历了解了一年有12个月，闰年有366天、平年有365天后，一位教师运用新媒体创设了这样的情境：地球绕着太阳公转，时间为365天5时48分46秒。由此引发学生思考：为什么要规定平年是365天，闰年是366天？当学生理解了“平年”和“闰年”的时间规定后，教师又运用新媒体创设了史蕴文化场：恺撒和奥古斯的故事，引发学生思考：为什么要由2月来决定平年和闰年？每年的7月和8月为什么都是大月？这种教学，对规定性知识进行深度发掘，不仅让学生知其然，更让学生知其所以然。通过浸润式教学，学生知道了什么是阳历，什么是阴历，知道了“世纪”和“年代”的分别，了解了国外日期的书写格式，掌握了我国传统节日等。数学教学负载着历史文化的气息。在这种史蕴文化场的浸润中，数学史与学生数学学习融在一起，历史游弋于学生数学学习之中，学生真切地感到数学的神奇与曼妙。

数学教学不仅要让学生体验到数学知识之深刻，而且要让学生体验到数学知识历史之厚重。为了教学而研读数学历史，要基于学生数学认知去关注数学知识背后的历史。通过知识史，让学生不断优化自己的数学思想方法观念、数学文化观念。

3. 创生式教学，让“史”始终在场

美国当代杰出的数学家、教育家乔治·波利亚深刻指出：“学习数学只有当看到数学产生、按照数学发展历史顺序或亲自从事数学发现时，才能最好地理解数学。”创生式教学是重构数学历史最为重要的方式。只有顺着数学知识发生的内在逻辑进行教学，才能把握数学知识诞生的关键。通过创生式教学，教师不断开掘学生创造潜能，落实学生创史实践。

教学《确定位置》，可以指导学生经历数学知识产生的过程，让学生经历“用方向和距离确定位置”的探究过程，尤其是要让学生理解“为什么规定东北方向叫北偏东，西北方向叫北偏西？”笔者在教学中首先创设情境，让学生从正北方向略偏向东和正东方向略偏向北，引发学生创造“北偏东”“东偏北”的概念。接着，笔者将目标定位于“北偏东（东偏北）45°方向”，激发学生认知冲突：这个方向到底是北偏东還是东偏北呢？在学生犹豫不决时，笔者出示一艘在茫茫大海上航行的船只，这艘船只依靠什么辨别方向呢？学生想到了指南针。由此，学生进一步认为应以南北方向作为基准方向，进而揭示“北偏东”“北偏西”“南偏东”“南偏西”的内涵。这样的教学，不再是机械灌输，而是基于数学史的积极再创造。在这个过程中，历史始终在场。

像这样，学生在不知不觉、潜移默化中经历数学知识再创造的过程就是一种创生式教学。创生式教学不仅让学生了解了数学知识产生的背景、原理、价值、用法，而且在再创造中积淀了数学活动经验。这种教学，悄无声息地播下了学生探究数学的种子，让学生触摸到数学历史的脉搏。

数学家吴文俊说：“数学教育和数学史是分不开的。”在数学教学中重构数学历史，需遵循历史发生的原理，对数学知识进行历史理性重构，让学生触摸、感悟、体验数学丰赡文化意蕴，经历丰硕、曼妙的历史化数学探究之旅，在学生再创造的过程中丰盈学生精神，润泽学生生命。