单元“类教学”：重建数学整体课程

何银华

摘 要：数学教学要突破以“课”为组织形式，以知识“点”为形态的固化框架、格局。以“单元”为单位，以“类教学”方式，可以重建数学整体课程。作为教师，要把握知识结构、思维结构、教学结构，立足于“类化”和“内化”，展开单元“类教学”，让学生把握知识逻辑之链、引发学生“探究之乐”、满足生命成长之需。

关键词：单元；类教学；整体课程

数学课程是一种结构性、系统性的知识整体。数学知识之间是彼此渗透、相互关联的，其组织是有序的、螺旋上升的结构、系统。囿于学生年龄特征、心理特质等因素，数学教材在编写知识时人为割裂了知识联系，这是教材编写无法回避的。但作为教师，必须对数学课程有一个整体把握。遗憾的是，许多教师在教学中要么“只见树木不见森林”，要么“各人自扫门前雪”。散点式、孤立式教学，浅化了学生思维，固化了学生认知，弱化了学生创造力。如何重建整体课程，赋予学生思维自然生长的力量？带着这个问题，笔者立足单元，以“类教学”方式展开实践与研究。

一、单元“类教学”的依据及可能

何为单元“类教学”？基于整体论视角，单元“类教学”就是相同、相似结构的组合、排列。结构是什么？结构是一个整体、一个系统、一个集合，在数学认知领域，结构具有独特意义和价值。单元“类教学”不仅要关照知识结构，更要关注学生思维结构、心理结构。单元“类教学”是数学知识结构与学生思维、心理结构同构共生、同生共长、协调互动的过程。

1. 知识结构

对于教师而言，数学知识是一棵葱郁的大树还是一片茂密的树林，抑或是一望无际的森林？这决定着教师教学的视界，决定着单元类教学的成败。如果教师掌握了数学本体性知识结构，就有利于知识映射迁移，就能站在学科知识结构高度，用高观点统御教学。比如，长方体、正方体和圆柱体体积教学，教师应该有直柱体体积本体性知识；比如圆锥体体积教学，教师站在知识结构高度，就可以补充正三棱柱、正四棱柱等内容。只有用结构观点、视角来解读、处理教材，教学才能发挥举一反三的功用。

2. 思维结构

数学学习是学生基于自身已有经验，用自己的思维建构知识的过程。单元“类教学”不仅要关注知识结构，而且要关注学生思维结构。只有明确了学生认知发展线，才能更为有效地展开单元“类教学”。关注学生思维结构，要引导学生在数学学习中学会主动迁移、整体感悟等。这里，关键是让学生经历数学知识的诞生历程，获得数学活动经验和数学思想方法。比如，学习了“圆的面积”，学生就应该能迁移到圆柱体积推导过程中去，学习了“商不变规律”，学生就应该能迁移到“小数的性质”“分數的基本性质”“比的基本性质”中去，并能获得一种整体感悟。

3. 教学结构

所谓“教学结构”，是指教师在教学中运用高观点、大视野和关系思维进行的教学。比如，苏教版教材“运算律”这一单元，“加法交换律”“加法结合律”“乘法交换律”“乘法结合律”和“乘法分配律”等都遵循完全相同的“猜想—验证—不完全归纳”教学思路。比如，“长度单位”“面积单位”“体积单位”等跨单元教学，就具有相同的教学结构。只有具有关系思维、系统思考和跨界思想，才能让数学教学呈现出一种理性、均衡，才不会“眉毛胡子一把抓”。

二、单元“类教学”的价值及旨归

长期以来，数学教学以“课”为单位进行组织，以“点”为单位进行检测。这种着眼于“一课一点”的教学方式，从根本上制约了学生数学思维力、想象力的发展。单元“类教学”立足于“单元”，以“类”的方式组织教学，赋予学生广阔思维时空，彰显数学教学整体之美、结构之美，形成学生整体把握单元，观照知识，开展创造性学习活动的能力。

1. 从“木”到“森”，把握知识的“逻辑之链”

学生知识建构力的高低，某种意义上取决于学生对数学整体知识的掌握情况。如果教学以“课”“点”的状态推进，学生对数学知识就缺少整体全貌的感知，就不能形成知识生长的逻辑链。而以“单元”“类”的状态进行教学，学生就能把握数学知识的逻辑之链。从这一知识“点”到那一知识“点”，学生能形成知识迁移力、建构力和创造力。比如学生经历了制作“厘米尺”过程，就能自主地制作出“量角器”。尽管“厘米”和“角”分属不同知识领域，但以单元“类教学”方式展开，学生就能感悟到：无论是测量厘米，还是测量角，就其本质而言，都是看“某一个长度、角度里有多少个长度、角度单位”。单元“类教学”让学生掌握了单元学习的逻辑性，让教学既见“树木”又见“森林”，让学生数学学习逐步走出了混沌，走向敞亮。

2. 从“知”到“智”，引发学生“探究之乐”

学生数学学习不仅是为了掌握知识，更是为了发展思维，形成一种思维、探究、认知方式。单元“类教学”不仅要让学生掌握数学知识结构，更应激发学生“探究之趣”“探究之乐”。通过“学结构”，形成学生“用结构”的能力。比如，学生学习了“平行四边形的面积”“三角形的面积”后，认识到“未知图形的面积都可以转化成已知图形的面积”。基于此，在学习“梯形面积”时，学生自发地展开了探究，有学生将梯形沿着对角线转化成两个三角形；有学生借助中位线，将梯形转化成长方形；还有学生受三角形面积推导启发，将梯形转化成平行四边形……这样的探究，能够对学生实现“转识成智”。

3. 从“碎”到“统”，满足生命“成长之需”

单元“类教学”不同于传统教学模式，它不仅关注知识、思维，而且关注学生数学学习策略、情意态度等。从“零碎”到“系统”，能满足学生生命“成长之需”。在这种单元“类教学”中，学生不仅能掌握数学结构之“形”，更能领悟数学结构之“神”，逐步形成联系的、发展的、辩证的眼光。比如一位教师教学“用数对确定位置”后，立足学生生命成长之需，运用新媒体一点点出示，让学生明确低年级数轴确定位置的含义；然后一排排出示，让学生明确用数对确定位置的意义；接着，又运用新媒体课件一层层出示，引导学生用数对从长、宽、高三个维度进行创造性表示。学生的思维得到发展，素养得到提升，精神得到丰盈，生命得到润泽。

三、单元“类教学”路径及方法

明晰了单元“类教学”的依据及可能、价值及旨归，还需要探寻单元“类教学”的路径及方法，这就必须摒弃传统的支离破碎的教学模式。从整合类化设计到整体内化感悟，单元“类教学”有着独特的教学路径。其中，既有横向关联，又有纵向融通，还有整体建构。既要引导学生类联，又要引导学生寻异，既要引导学生架构，又要引导学生建系。

1. 类化：彰显单元“类教学”的理性内涵

“类化”是单元“类教学”的前提。将数学知识结构类化，有助于学生建构知识群，感悟思想方法。在数学教学中，教师要依循数学知识结构性特点，将数学同类知识集聚起来；要强化“类”的意识，彰显“类结构”的教学功能。

首先是类化目标结构，凸显单元教学核心价值。以苏教版教材为例，比如《解决问题的策略》单元教学，就必须引导学生形成“策略”意识，培养学生运用策略的能力。许多教师在教学中往往着眼于问题解决，学生局限于“一题一得”，而没有从整体上形成策略，致使学生没有形成更上位的数学思想。比如“解决问题的策略——转化”，教师不能将教学降格为解题思路、方法，而必须让学生进行体验、感受。只有通过感受、体验，才能自然生发学生的“转化”策略的化复杂为简单、化未知为已知的价值。

其次是类化知识结构，统整单元教学知识结构。所谓“类化知识结构”，就是将单元离散的、断裂的、表象的知识点梳理、归纳，让知识呈现出整体结构，从而彰显学科教学功能。比如苏教版小学数学六年级上册第三、第四单元的《分数乘法》《分数除法》单元，后面插了一个《解决问题的策略》，再后面是《分数四则混合运算》。为了类化知识结构，笔者在教学中，将《分数四则混合运算》前置，使之与《分数乘法》《分数除法》形成了一个结构性、整体性知识板块。实践证明，单元微调，更有助于学生建构认知结构，将分数乘、除法计算以及应用题建构成一个知识整体。

再次是类化方法结构，聚焦单元教学的整体策略。方法是知识的上位概念，但却是思想的下位概念。比如苏教版小学六年级上册“长方体和正方体”单元，在认识了长方体和正方体的特征后，教材分三课时分别让学生进行“完全表面积”“不完全表面积”（材料用量）“综合练习”的学习。立足于类方法，笔者在教学中将三课时的内容进行整合，用一节课的时间进行教学。实践证明，这种立足于方法的教学，更能凸显面积之和的计算要从实际出发的旨趣。由于摆脱了原有课时的桎梏，学生问题解决思路更清晰，问题解决思维更灵动，问题解决方法更多样了。

再次是类化过程结构，推动单元教学有效运作。有时，尽管数学知识不同且分属不同领域，但其形成过程却有着相同或相似的结构。教师要引领学生经历这样的知识诞生历程，对知识形成的过程结构、逻辑进行寻找、确认。比如学生经历了研究两个数最大公因数的过程，就能主动地探索两个数的最小公倍数，分别用“列举法”“大数翻倍法”“短除法”等进行研究。

当然，不管是类化目标结构、类化知识结构、类化方法结构还是类化过程结构，都不应该孤立而行，而应该纵横交错、互相补充、推动。只有这样，才能体现单元“类教学”的意义和价值，才能彰显单元“类教学”的整体之美、结构之美。

2. 内化：彰显单元“类教学”的素养培育

认知心理学认为，学生的数学学习是学生与环境互动的过程。在这个过程中，个体借助于心理同化、顺应，将外界信息主动纳入自我认知结构。由此，个体认知心理结构经历了从不平衡到平衡的转化过程。单元“类教学”，就是要促成学生个体认知心理的积极内化。

首先是用单元“类教学”促进学生同化。所谓“同化”，是指当外界刺激作用于个体内在的图式时，个体能够对外界刺激加以选择性吸收、改造，使之适应、丰富、拓展自己的已有图式。在数学教学中，要充分运用单元“类教学”促进学生的心理同化。比如教學“分数的基本性质”，教师必须引领学生瞻前顾后、左顾右盼。既要让学生感悟到“分数基本性质”“商不变规律”以及“小数的性质”的内在一致性，又要让学生明晰“分数的基本性质”的作用，即分数的基本性质既可以用来约分，也可以用来通分，而通分又指向异分母分数的加减法，约分指向分数的乘除法。当学生将这些知识纳入自我的认知结构中时，学生能够感受到分数的基本性质的意义和价值，从而形成认知体。

其次是用单元“类教学”实现学生顺应。所谓“顺应”，是指当外部刺激作用于个体内在图式时，个体原有认知结构无法同化新的信息刺激，而必须引发个体内在图式的结构重组与改造。小学生的思维发展尚处在起步阶段，其内在的图式也处于不断丰富、扩张、变化的状态中。在数学教学中，教师要运用单元“类教学”实现学生顺应。比如教学“小数的认识”这一单元，要让学生突破原有整数的认知，将小数和整数进行有效统整，形成全新的“数位顺序表”，其一是在“个”的基础上扩大，其二是在“个”的基础上缩小，但两个相邻计数单位间的进率都是十；再比如，教学“认识负数”，也要突破学生原有的对数的认知，帮助学生建构完整的“有理数系”。在数学教学中，要让学生明晰不同知识的共性与区别，促使学生认知图式的不断更新、拓展。

再次是用单元“类教学”实现认知平衡。如上所述，学生数学学习的过程是认知结构从不平衡走向平衡的过程。为了实现单元“类教学”，教师可以加强综合性学习，可以重构课程内容、重构课程方式、重构课程形态。比如在六年级“图形与几何”部分内容的复习中，为沟通平面图形与立体图形的关联，笔者创生了“平移和旋转”主题教学。借助平移，长方形能演化成长方体，圆形能演化成圆柱，三角形、梯形等图形能演化成三棱柱、四棱柱等；借助旋转，长方形能演化成圆柱，直角三角形能演化成圆锥，半圆能演化成球。通过这样的教学，沟通平面图形与立体图形，实现学生认知的扩张、视角的突破。

单元“类教学”打破了传统的以“课”为组织、以知识“点”为单位的固化教学框架、格局。立足于单元“类结构”，对数学知识进行整体集约谋划，连线、勾面、成体，顺应了知识的逻辑生长，顺应了学生的生命成长。这样一种有深度的结构化教学为数学课程实施开辟了一条行之有效的教学路向。