学生数学“相异构想”的调正策略

周艳霞

摘 要：相异构想是学生头脑中固有的概念框架或解释结构。数学教学要正视学生的相异构想，对学生相异构想进行积极转化、调正。通过暴露、化解、反思等多种方式，让学生超越相异构想，提升自我学习的效能。

关键词：相异构想；调正策略；学习效能

国外研究者将学生在正式学习前，通过对日常生活现象、体验而形成的概念称为“前概念”，而将围绕前概念建立起来的一种错误思维方式、思维结构称之为“相异构想”，又称“概念框架”或“解释结构”。“相异构想”干扰着学生的数学学习，甚至会顽固地影响学生的学习行为，让学生错误类化新知。在数学教学中，如何对学生的相异构想进行引导、调正，让学生从相异构想的羁绊中解放出来，消除学生疑惑，解除学生困扰，笔者在数学教学实践中进行了相关研究，取得了积极成效。

一、暴露相异构想，让“错误”成“醒悟”

学生数学学习相异构想形成的路径很多，如日常生活中的概念、自主阅读中的感悟、类化概念（如扩大与增加、倍和倍数等）的干扰等。对于相异构想，教师要有足够的认知。不能将学生相异构想与注意力不集中、做题粗心大意、作业磨蹭等现象相混淆。由于每个学生生活背景不同、经历有异，因此学生头脑中的相异构想必然是多样化、隐蔽化的。作为教师，要善于暴露学生相异构想，让学生从相异构想的错误观念、迷思观念中醒悟过来。

比如，由于看到平行四边形框架可以拉成长方形，因此在学生头脑中存在着这样的关于平行四边形面积的根深蒂固的相异构想，即平行四边形的面积等于底乘斜边。在数学教学中，教师不是简单地引导学生认识“平行四边形的面积等于底乘高”，而应让学生经历一个“自我否定”的过程。笔者在教学中，运用新媒体技术将平行四边形放到方格图中，然后拖动平行四边形使之演变为长方形。学生直观地看到，平行四边形面积变大了。原来平行四边形的面积是比长方形小的，因此平行四边形的面积不可能用底乘斜边。接着，笔者还是运用方格图让学生用自己的方法如割补法等进行探究。通过学生直观感知、动手操作，引导学生建构平行四边形的面积公式。在这个过程中，学生经历了一个从确信到怀疑再到确信的过程。当学生的相异构想暴露之时，也就是错误演化成“醒悟”的过程。

在数学教学中，这样的例子还有很多，比如学生认为“一千克铁比一千克棉花重”“平行四边形是轴对称图形”“甲数比乙数多几分之几，乙数就比甲数少几分之几”“扇形就是像扇子一样的图形”“周长长的长方形面积就大”“角的两条边画得越长，角越大”“小数就是很小的数”等。相异构想是学生的素朴认知，有时也是学生学习的绊脚石，而且具有隐蔽性、顽固性、片面性，往往错过的“一错再错”，因此教师必须将学生的相异构想暴露出来，并进行积极的转化，使之调正。

二、化解相异构想，让“缺陷”变“建构”

学生因先前累积的学习经验而初步形成了记忆定式，当再次遇到类似、相似的学习情境时，学生会想当然地用自己潜意识中的问题解决方式解决新问题。因此，教师要对学生的认知进行把脉，可以运用随机通达教学，随时通达学生已有认知状态，对学生相异构想予以积极辨析、矫治、化解，从而达到转变、调正相异构想的目的，将学生的认知“缺陷”变成学生数学学习的积极“建构”。

比如，对于“倒数”这一概念，学生容易顾名思义，认为“倒数就是倒过来的数”。这样的相异构想，尽管存在着缺陷，却也是教师建构倒数概念的基石。教学中，笔者采用随机通达教学，从学生相异构想出发，首先教学真分数、假分数的倒数。当学生根据自己的相异构想快速找出真分数、假分数的倒数后，笔者出示了一个带分数，有学生顺着自己的思路，认为可以将带分数的真分数部分的分子和分母直接交换位置；有学生认为，可以先将带分数转化成假分数，然后再找出假分数的倒数。对于这两种不同的见解，笔者将其暂时悬搁，要求学生找出0.6和1.6的倒数分别是多少。由于小数没有分母和分子，因此不可以直接交换。学生若有所思地感悟到：要先将这些小数化成分数，然后再交换分数的分子和分母。对小数的倒数的思考，反哺着学生思考带分数的倒数，学生认为，应该先将带分数转化成假分数，再找假分数的倒数。借助学生的相异构想，化“缺陷”为“建构”，从中发现互为倒数的两个分数的乘积为1这一本质认识。

建构主义认为，学生的数学学习不是简单地“输入”“存储”过程，而是学生基于自我已有经验的积极建构。尽管学生的相异构想具有片面性、模糊性等特质，但其中也有积极的因素。对于学生相异构想中的积极因素，教师要加以积极利用，让学生进行对比、分析、判断、选择和重建知识结构。

三、反思相异构想，让“零散”成“系统”

针对学生数学学习中的相异构想，教师要引领学生理性地分析其产生的根源。通过对自我相异构想的反思，发展学生“逻辑思辨力”。教学中，如果教师善待学生的相异构想，学生的相异构想也会像珍珠一样闪闪发光。作为教师，要引导学生反思自我的相异构想，让学生将自我零碎的相异构想串联起来，促进学生对数学知识的理解。

比如，教学《三角形的面积》，许多学生在学习前就已经知道三角形面积等于底乘高除以2，但基本上都是“知其然而不知其所以然”。一般来说，教材无论是人教版还是苏教版都是直接引导学生将三角形转化成平行四边形，这种做法依然规约着学生思维。笔者在教学中先让学生给三角形分类，有学生按边分，有学生按角分。由于按边分，关系错综复杂，学生纷纷倾向于按角分。将直角三角形、锐角三角形、钝角三角形置于方格图中，学生能看出直角三角形的面积。“为什么能直接看出直角三角形的面积呢？”“怎样才能看出锐角三角形和钝角三角形面积的大小呢？”学生展开深度反思。在对直角三角形面积推导本质直观的基础上，学生提出了一系列猜想：将一般三角形通过分割法转化成直角三角形；将一般三角形通过分割法转化成长方形；用两个完全相同的三角形进行拼合（倍拼组合）等。如此，学生从反思直角三角形的面积计算开始形成系列相异构想，这些构想有的是模糊的、片面的，有的却是富有创造性的。只有教师关注学生的原初经验，才能让学生的相异构想从零碎走向系统。

面对学生的相异构想，教师不应回避而应直面，并基于学生原初经验去引导、沟通、提炼。教师对学生原有的相异构想进行完善，将分散、割裂的相异构想进行整合，形成一个统一的观念性整体。

四、超越相异构想，让“局限”变“全面”

西方有句格言：“偏见比无知离真理更远。”学生“相异构想”受制于其生理和心理特点，都会有一些不足、缺憾，但有时却是学生的探索、思考。在教学中，教师要正视学生的相异构想，超越学生的相异构想。对学生的相异构想进行加工、打磨，学生的相异构想也会成为光彩夺目的珍珠。在数学教学中，教师要重视学生的原初经验，重视调正学生的相异构想，让学生从相异构想的局限认知走向超越相异构想的全面认知。

比如，笔者曾经调查了学生对面积和周长的理解，学生不是从一维、二维视角来认识周长和面积的差异的。当出示一个图形，要求学生比画出图形的周长和面积时，学生往往用手在边线上画一画，用手在图形内部圈一下。在学生的观念中，周长属于表面的外面部分，面积属于表面的里面部分。如何让学生充分感悟“周长”“面积”的内涵，笔者采用随机通达教学。首先，让学生摸面，不仅摸水平方向上的平平的面，而且摸竖直方向上的平平的面；不仅摸平面，而且摸曲面。通过这样的教学，突破学生水平平面的固像，形成面的共性表象。其次，让学生将眼睛蒙起来，感受面是“横向到边”“纵向到底”的二维特征。再次，让学生将立体图形的面用“拓印法”拓印下来，这样从三维回归二维，有助于学生区别“面”与“体”。最后，给学生出示相同长度的线段围成的封闭与不封闭图形，让学生指出面积。从一维到二维，学生认识到，只有封闭的图形的面才有大小，才有面积。

学生的相异构想是准科学甚至是非科学的知识结构、思维模式。教师对学生的相异构想要进行积极的诊断，对学生的数学相异构想进行本质化的澄清，以便让学生建立科学、完整的概念模式，让科学的数学观念、数学本质在学生的心灵深处扎根。

纠正学生的相异构想是一个复杂而系统的过程。学生的相异构想往往根深蒂固，有时还会产生某些“变异”，作为教师，要对学生的相异构想进行积极把脉、问诊，去发现学生的相异构想。对于不同的相异构想，教师要采用不同的策略，或進行积极转变，或进行积极消除。借助学生的相异构想，实现学生数学学习的优化。