例谈高考向量试题的解法

☉山东省肥城市第一高级中学 田祖荣

在数学解题中，我们要有意识地应用一些常规且熟知的方法去分析问题、解决问题，形成能力，进而提升数学素质，使自己具有良好的数学头脑和独特的解题眼光.特别对于平面向量问题，需要抓住基本的解题方法加以突破，达到巧妙求解平面向量的目的.

一、基底法

在解决一些平面向量的线性运算问题中，经常根据平面向量的基本定理，通过转化，把对应的向量转化为只含有基底的两个向量（不共线）的运算，进而利用向量的有关运算法则来处理.通过此种基底法来解决相关的平面向量问题，往往可使平面向量问题简单化、统一化，方便进一步分析与求解.

例1 （2018年全国卷Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（ ）.

图1

点评：通过合适基底的选取，使得相关平面向量的线性转化有目标，最终的运算得以合理转化与应用.基底法处理，巧妙化解决.

二、坐标法

在解答高考平面向量试题时，结合已有的平面直角坐标系或利用题目条件建立相应的平面直角坐标系，通过对应点、向量的坐标，结合向量的坐标运算、数量积公式等来处理相应的平面向量问题.利用坐标法解决平面向量问题时，具有很强的目的性与操作性，解答过程流畅，解题方法巧妙.

例2（2018年上海卷）在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且=2，则的最小值为______.

分析：直接利用已知平面直角坐标系，设出E，F的坐标，结合条件确定对应参数之间的关系式，通过坐标运算得到的关系式，通过配方来确定最值即可.

点评：通过坐标法的处理，结合点的坐标、向量的坐标的转化，把对应的平面向量的数量积问题转化为二次函数问题，利用二次函数的图像与性质来确定相应的最值.利用坐标法解决平面向量问题，特别是数量积问题，也是高考等相关考试中比较常见的一类技巧方法.

三、平方法

在平面向量的性质中，向量模长的性质|a|2=a2往往是解决问题的一个突破口，可以巧妙转化数量积运算与模长问题.利用平方法，可以有效实现数量积运算与模长问题两者之间的转化，解答巧妙.

例3 （2018年北京卷）设a，b均为单位向量，则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的（ ）.

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

分析：结合题目条件，通过关系式|a-3b|=|3a+b|的平方展开，结合a·b=0与a⊥b的关系来分析与判断充分必要条件问题.

解：由于a，b均为单位向量，可得a2=b2=1.

当|a-3b|=|3a+b|时，两边平方整理可得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2，则有a·b=0，可得a⊥b；

反之，当a⊥b时，则有a·b=0，可得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2，即（a-3b）2=（3a+b）2，亦即|a-3b|=|3a+b|成立.

所以“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.

点评：在解决一些平面向量的模问题时，往往巧妙利用平方法，有效转化数量积运算与模长问题，再结合平面向量与相关知识（涉及函数或不等式等）来处理与分析问题.这也是解决平面向量问题中比较常见的一类思维方式.

四、极化恒等式法

例4 （2018年天津卷）如图2，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为（ ）.

图2

解：如图3，取AB的中点F，连接EF.根据极化恒等式可得=

图3

因为AD⊥CD，从而可得EF∥AD.

又∠BAD=120°，可得∠AFE=60°.

如图3，过点A作AG⊥EF，垂足为点G，

而此时四边形AGED为矩形，可得EG=AD=1，则有EF=EG+FG=.

点评：由于极化恒等式具有化动（动点）为定（定点），化动（动态）为静（静态），化曲（曲线）为直（直线），化普通为特殊之功效，应用十分灵活.特别地，在近几年全国各地高考试题中，与极化恒等式有关的素材迅速成为创新问题的热点与亮点，随之出现与之相关的平面向量的相关应用问题.

五、不等式法

含有绝对值的不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，既适用于代数形式，也适用于向量形式.在处理一些涉及平面向量的模的最值问题时，有时可以利用绝对值不等式的性质来转化与应用，显得更为简单快捷.

例5 （2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2-4e·b+3=0，则|a-b|的最小值是（ ）.

分析：巧妙通过转化|a-b|=|a-2e-（b-2e）|，再结合绝对值不等式的性质，可以非常有效快捷地转化，进而得以确定|a-b|的最小值.

解：由b2-4e·b+3=0，可得（b-2e）2=1，即|b-2e|=1，

所以|a-b|=|a-2e-（b-2e）|≥|a-2e|-|b-2e（|绝对值不等式）≥|2e|sin-1=-1（当且仅当向量a-2e与a垂直时，|a-2e|最小，此时|a|=1）.故选A.

点评：利用含有绝对值的不等式定理来处理有关平面向量的模的最值问题，关键是对条件加以合理、适当转化，再通过适当的放缩变化来处理相应的最值问题.方法简单易懂，过程简便.

其实，数学方法是从数学基本知识或内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将数学知识转化为能力的桥梁之一，有着广泛的应用.特别地，由于平面向量的特殊形式，其对应问题中蕴含着丰富的数学方法，根据相应的题设特点，以及平面向量的相关知识，灵活地运用相应的数学方法与技巧，往往能使问题的解决更为简捷、准确，提高效益.W