引导学生由变式途径复习逻辑推理——例谈复习教学中培养逻辑推理素养的实践

江苏 张新志

浙江 余继光

2017版《普通高中数学课程标准》中，数学学科核心素养摆在突出而重要的位置，数学复习教学中必须加以落实，如何通过有效途径来落实正是数学教学中需要解决的问题.变式教学是我国数学基础教育的精髓，将变式教学方法融入到培养学生逻辑推理素养中是一个十分有效的途径.

一、逻辑推理中的变式途径

1.逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类：一类是从小范围成立的命题推断更大范围成立的命题推理.推理形式主要有归纳、类比；另一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理，推理形式主要有演绎推理.逻辑推理是数学交流的基本品质，使数学交流具有逻辑性.通过逻辑推理核心素养的培养，学生能够发现和提出命题，掌握推理的基本形式，表述论证的过程，理解数学知识之间的联系，能够理解一般结论的来龙去脉，形成举一反三的能力，能够形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯和交流能力.

2.变式教学是数学基础教学中最有效的形式之一，在数学解题教学中，从某一个具体的数学问题入手，通过问题串，设置一条由特殊到一般的探究思“路”，就可以引导学生学会归纳推理的一般方法；在某一问题求解过程中，变式搭建不同的“桥”，使学生产生不同的推理思维，并类比这些推理的本质；在某一问题求解遇到障碍时，变式形成一个个思维的“洞”，让学生钻进去体验演绎推理的严谨.

3.变式途径的设置是灵活的，一要根据学生的认知水平，只有贴近学生，让学生动动脑筋就能解决问题；二要体现问题求解的逻辑推理规律，因为变式的目的是训练学生的数学思维——逻辑推理；三要把着力点移到学生的思维碰撞上，产生火花最有效；四要让学生主动思维，以研究性学习小组的形式最能体现学生思维的主动性；五要让学生写出来，只有交流才能从根本上锻炼学生逻辑推理的真本事！

二、变式途径中的引导策略

1.探“路”——逻辑思维的“路”，由特殊到一般、由具体到抽象的归纳之“路”，先铺设一条这样的“路”，让学生跟着老师走一遍，然后变式一下，让学生独立行走体验一遍.

2.搭“桥”——逻辑思维的“桥”，由特殊到特殊、由此类到另类的类比之“桥”，先演示搭“桥”术，变式给出搭“桥”材料，通过类比形成思维，解决问题.

3.钻“洞”——逻辑思维的“洞”，由大前提、小前提到结论的演绎之“洞”，先由经典示例钻“洞”术，变式给出不同“洞”的材料，让学生通过演绎推理来解决问题.

三、变式途径提问题的实践

1.由变式途径学会归纳推理

案例1.集装箱搬运中的运输方法数

经济活动：集装箱是人们生产活动中经常见到的运输工具，电视节目中也可以看到港口码头上成排的集装箱，为了搬运这些集装箱，人们不仅要借助大型机械，而且也会思考如何有效地进行运输，于是提出了下列问题：

例1.如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是________.

基础探究：数字小，排排看，设集装箱分别为A1,A2,A3,B1,B2.

所有可能的装运方法有A1A2A3B1B2，A1A2B1B2A3，A1A2B1A3B2，A1B1A2B2A3，A1B1B2A2A3，A1B1A2A3B2，B1B2A1A2A3，B1A1A2A3B2，B1A1B2A2A3，B1A1A2B2A3,共有10种取法.

变式思考：某货场有两堆集装箱，一堆3个，一堆4个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是________.

思路：先排好A1A2A3A4，在其间5个空，现分类插空：

归纳形成一般结论

设某货场有两堆集装箱分别为A1,A2,…,An,B1,B2,…,Bm，n≥m，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是________.

思路：先排好A1A2A3…An，在其间n+1个空，现分类插空：

……

学生体验：学生考试成绩排序的方法数.

例2.在某次数学考试中，学号为i(i=1，2，3，4)的同学的考试成绩f(i)∈{85，87，88，90，93}，且满足f(1)≤f(2)

学生1：若将题设条件改为f(1)≤f(2)

学生2：此时需要考虑下列四种情形：

学生3：若将题设条件改为f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)，其他条件不变，问题又会有什么变化呢？

学生4：此时除了上述四种情形外，还需考虑：

数学课代表：在我们变换条件的过程中，问题的答案似乎有什么规律，能探索其规律吗？

学生5：在连接f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的“<”“=”中，考虑“=”的个数的各种情形：

数学课代表：上述结论具有怎样的规律性呢？能推广到一般情形吗？

学生6：在某次考试中，学号为i(i=1，2，3，4，…，m)的同学的考试成绩f(i)∈{a1，a2，a3，…，an}，a1

学生7：在连接f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(m)的“<”“=”中，考虑“=”的个数的各种情形：

……

解读：此案例设置的逻辑推理的“路”就是由具体的、特殊的情形的求解，归纳为一般情形，并将分类讨论思想应用其中，使学生在接受思维训练后，在类似问题中体验这一归纳推理过程，在一个班级中，不同数学思维层次的学生都会在此问题的求解中有所收获.

2.由变式途径学会类比推理

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解读：圆锥曲线问题中，特别是椭圆与双曲线之间有许多性质是类似的，通过类比推理思维，学生比较容易思维迁移，推而广之，久而久之，学生会把此类问题中的思维方式类比到另一个领域内解决问题.本案例中有两座“桥”，一是点对称概念“桥”；二是代数式变形运算“桥”，后一座“桥”是目前学生最难过的“桥”.

3.由变式途径学会演绎推理

案例3.如图，AC为圆O的直径，B为圆周上不与点A，C重合的点，PA垂直于圆O所在的平面，连接PB，PC，AB，BC，AN⊥PB，AS⊥PC，连接SN，则图中互相垂直的平面对数有________对.

数一数：图中有5对互相垂直的平面：

①平面PAB⊥平面ABC，②平面PAC⊥平面ABC，③平面PAB⊥平面PBC；④平面ANS⊥平面PBC，⑤平面ANS⊥平面PAC.

证一证：

变式体验：