“数系的扩充与复数的引入”模块的复习策略

安徽 朱启州

从近十年高考数学对复数的考查来看，主要集中在以下几个方面：(1)复数的基本概念，如实数、虚数、纯虚数、共轭复数、复数的模；(2)复数的几何意义；(3)复数的四则运算、模与共轭复数等；(4)自然数系到复数系的关系及数系扩充的基本思想.从历年学生答题情况看，常常因概念不清、方法不当造成失误.数的概念扩充至复数后，实数集内的一些结论在复数集内不一定成立，因此，要重视常见结论成立的条件，注意实数与复数的区别与联系.现以高考常见题型为例，展现不同的解题方法、常见错误，供读者参考借鉴.

一、复数运算,重视式子(x+yi)(x-yi)=x2+y2的理解与运用

复数的概念是运算的基础，高考数学往往以复数的运算为基础，考查复数的基础知识与运算能力.

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A．-i B.i

C.-1 D.1

【解3】设z=x+yi(x,y∈R)，则(x-1+yi)(1+i)=2i，

即(x-1-y)+(x-1+y)i=2i，

【点拨】解1，2都是运用复数的运算性质，求出复数z，进而得出结果；解3通过设z=x+yi(x,y∈R)，根据复数相等的条件，确定待定系数x,y的值，从而得出结果.在解1，2中运算(x+yi)(x-yi)=x2+y2，常出现(x+yi)(x-yi)=x2-y2的错误.主要原因是对虚数单位i理解错误，正确的是i2=-1,i3=-i,i4=1,….x,y分别是复数x+yi(x,y∈R)的实部与虚部，常错误理解为其虚部为yi，易错选A.

( )

【答案】C.

二、复数的几何意义，重视几何、向量与三角等知识的综合运用

复数的几何意义是高考数学又一热门考点，常借以考查学生数形结合与转化能力.

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C.1 D.3

【解3】由复数的几何意义和向量的平行四边形法则，

由|z1|=|z2|=1，知四边形OACB是菱形，如图，

于是|z1+z2|=1，故选C.

【解4】由复数的几何意义，得|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)=4,所以3+|z1+z2|2=4,于是|z1+z2|=1,故选C.

【变式】如图，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C在复平面内分别表示0，3+2i,-2+4i,则B点对应的复数为________.

即B点对应的复数为1+6i.

三、复数的模与复数的共轭复数，重视常见结论的推导

复数的模与共轭复数是复数模块中的两个核心概念，与之相关的结论不算少，如复数相等、复数为零、复数为实数、复数是纯虚数的充要条件等，这些结论往往是命题的来源之一.

【例3】(2017·全国卷Ⅰ理·3)设有下列四个命题

p2:若复数z满足z2∈R，则z∈R；

其中的真命题为

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A.p1,p3B.p1,p4

C.p2,p3D.p2,p4

【点拨】复数的模与共轭复数的常见结论：

复数四则运算常见结论：

若i为虚数单位，则

①i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈Z);

以上结论不一定都要记忆，但一定要通过推导，加深对复数四则运算、模的运算与共轭复数的理解，强化对复数的认识.