三角形与向量难舍难分

山东 李景臣

平面向量是高中数学的重要工具之一,它不仅可以把几何问题转化为代数问题求解,也可以把代数问题转化为几何问题求解.它与高中数学的许多模块(三角函数,平面解析几何,立体几何,数列,不等式等)都有紧密联系.三角形与向量存在着密切的关系，三角形与向量综合考查是高考命题的热点，本文从简单到复杂,剖析三角形与向量综合的几个类型.

1.三角形元素的向量表达：根据平面向量基本定理、共线向量定理和平面向量的各种运算关系，把三角形中的一些元素使用已知向量表达.

( )

【分析】根据三角形面积公式，只要求出sin∠AOB即可，根据向量夹角公式可得cos∠AOB，使用同角三角函数关系后代入三角形面积公式整理即得.

【点评】本题给出了使用三角形两边的向量表达三角形面积的方法，可以看作是三角形面积的向量计算公式，当在平面直角坐标系中已知三角形的三个顶点计算三角形面积时使用这个公式是很方便的.

2.与三角形四心有关的向量问题：三角形重心、外心、内心、垂心通常称为三角形的四心，与四心有关的向量问题经常出现在各类考试题中.

( )

A．重心 B．垂心

C．内心 D．外心

( )

A．sinθB.cosθ

C.tanθD.不能确定

【点评】本题是一道难度较大的三角形中的向量关系试题，解题的关键是把三角形的边向量转化为三角形外接圆的半径向量.

3.根据三角形满足的向量关系式解决三角形问题：三角形的元素往往以向量形式给出，需要分析向量关系解决三角形中的问题.

( )

A．等腰非等边三角形

B．等边三角形

C．三边均不相等的三角形

D．直角三角形

4.三角形中的向量计算：

方法2：由余弦定理|AB|2=|AM|2+|BM|2-2|AM|·|BM|cos∠AMB=32+52-2×3×5cos∠AMB，

|AC|2=|AM|2+|CM|2-2|AM|·|CM|·cos∠AMC=32+52-2×3×5cos∠AMC，∠AMB+∠AMC=180°，两式相加为|AC|2+|AB|2=2|AM|2+2|CM|2=2×(32+52)=68，

【点评】三角形的一条边上的中线把三角形分为两个三角形，这两个三角形有两组对边相等，相等的这两组对边的夹角互补，利用余弦定理可以建立中线和三边长度的关系式.三角形中的向量计算要充分使用正余弦定理.

5.解三角形与向量计算的交汇综合：三角形是几何图形、向量具有代数与几何的双重身份，在试题中解三角形与向量的交汇是自然的.

(1)求角B的大小；

【分析】利用数量积定义和正弦定理变换已知表达式为三角函数形式，进行三角恒等变换得出角B的三角函数值，进而求出角B；根据余弦定理得出关于a,c的方程，使用重要不等式得ac的最大值.

所以(2a+c)accosB+cabcosC=0，

当且仅当a=c时取等号，此时ac的最大值为4，

【点评】三角形的两边表示的向量的数量积可以用两边的边长和夹角表示，这种表示经常出现在各类试题中.本题第二问还可以根据正弦定理得出a,c关于角A,角C的正弦关系式，通过三角变换求解.

6.三角函数、解三角形、平面向量的交汇综合：高考是综合性的，把三角函数、解三角形、平面向量进行综合，是高考中命制三角函数类解答题的主流命题模式之一.

【分析】(1)对函数解析式进行恒等变换，将其化为一个角的三角函数，然后根据角的范围和三角函数性质即得；(2)把向量关系式化为三角形中的边角方程，使用正弦定理和余弦定理得方程解之.

∵向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线，

∴sinB=2sinA，

由正弦定理得b=2a， ①

由①②解得a=1,b=2.

【点评】在这类试题中向量关系表达的是三角形中的边角关系，只要使用向量知识把这个关系化为三角形中的边角关系，问题就转化为三角形中的问题.正弦定理在边角关系中主要功能之一是实现边与角的三角函数的互化，把方程化为只含三角形的边或者只含三角形的角的三角函数的方程，实现问题的突破.

7.向量在解三角形中的应用：

(1)若两船能相遇，求m．

【分析】(1)可以构成三角形，解三角形；(2)此时不能构成三角形，使用平面向量的方法表示两船的航行方向和航程，根据向量的模建立两船之间距离关于时间的函数关系.