与球相关的“切”“接”问题的解决方法

苗本彩 张林德

与球相关的内切与外接问题是近几年高考热点之一，综合化倾向尤为明显，其求解需要学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼，究其原因，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理，下面对球与几何体的切接问题展开探究，以求更好地把握此类问题的解决思路.

1 补形法

因正方體、长方体的外接球半径容易求得，故将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，便可借助外接球为同一个的特点求得.

分析 球心如何确定？主要依据是球的界面性质：过截面圆心与截面垂直的直线必过球心，球心在过BC中点的平面BCD的垂线上，且在过BD中点M的平面ABD的垂线上，两面垂直，所以两垂线交点为N（图4），于是半径可定，但较麻烦，另外，如果注意到CD⊥AD，AD⊥AB，联想到长方体中的棱的特征，不难有补体的想法（图5）.答案：A.

2 截面法

解答时首先要找准切点，通过做截面来解决，如果内切的是多面体，则作截面时要抓住多面体过球心的对角面来作.

例5 已知底面边长为a正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六个顶点在球O₁上，又知球O₂与此正三棱柱的5个面都相切，求球O₁与球O₂的体积之比与表面积之比1.

分析先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系，如图9、图10，由题意得两球心O₁，O₂是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA₁和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，

3 构造直角三角形法

首先确定球心位置，借助外接球的性质——球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造直角三角形，利用勾股定理求半径.

5 向量法

例9 己知在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，且PA=2PB=2PC=2，求该三棱锥外接球的表面积.

分析本题的关键是求出外接球的半径r，除了补形法或轴截面法外，还可用向量法求半径.

球的切接问题变化多端，但最终转化为规则几何体（正方体、长方体、正四面体、正三棱锥）的问题处理，这是不变的规则.