对一道几何度量问题的推广

曾福林 俞淑慧 杨标桂

在三角形中，内切圆与旁切圆有着极其紧密的联系，以三角形内切圆及三个切点为背景的试题，一般都可以推广至旁切圆，进一步弱化条件，可只需要两个切点，利用塞瓦构造第三个点，同样会得到一些令人惊奇的结论，本文从一道以内切圆及三个切点为背景的试题出发，逐步将其推广，并进行归纳总结，得到一系列有趣的结论.

1 问题提出

《数学教学》在2016年第10期数学问题与解答中刊登了由重慶市合川太和中学袁安全老师提供的如下问题（本文对字母作了一下变换）.

2 问题986号简要解答

3 问题推广

问题986号是关于三角形内切圆的切点度量性质问题，由此笔者联想到三角形的旁切圆或伪切圆是否会有类似的结果，通过类比，利用几何画板进行探索研究，我们得到以下一系列漂亮的度量性质：

变式3.2 已知△ABC的三个旁切圆分别切三边于点D，E，F，直线DE与直线AB交于点M，直线DF与直线CA交于点N.

变式3.3 已知△ABC，在∠CAB的角平分线上任取一点I_Λ，⊙I_Λ与射线ΛC，ΛB分别切于点E，F，直线BE与CF交于点G，直线AG与BC交于点D，直线DE与AB交于点M，直线DF与AC交于点N.

对于此变式，有多种情况，在分类讨论之前先确定节点：边ΛB，ΛC的中垂线与∠CΛB的角平分线分别交于点X，Y，过B，C分别作ΛB，ΛC的垂线与∠Λ角平分线分别交于B₁，C₁，假设⊙I_Λ的半径为r，∠B>∠C（对于∠B<∠C的情况同样讨论）.

注 证明过程省略.

在变式3.3中，点I_A是在∠CΛB的角平分线上，由对称性。我们现在考虑点I_A在∠CΛB顶角的角平分线上，构造类似的图形研究其性质.

变式3.5 已知△ABC，点I_A在∠CAB的外角平分线上，⊙I_A与AB，AC（或延长线）分别切于点F，E，直线BE与CF交于点G，直线AG与BC交于点D，直线DE与AB交于点M，直线DF与AC交于点N.

此变式与变式3.3类似，有多种情况，所以在分类讨论之前先确定节点：设边AB的垂直平分线、过点B垂直于AB的直线分别与∠CAB的外角平分线交于点P，Q，设⊙I_A的半径为r。

至此，我们在问题986号的基础上，得到五个变式，其中的内容可以说非常丰富，在文中，一者我们仅对∠CAB的情况进行讨论，而对于另外两个角，作一个轮转即可，二者我们只考虑了部分线段之间的度量关系，在此，也希望有兴趣的读者继续探析其它线段之间的度量关系或性质，以加深对此构型的认识，丰富研究成果.

参考文献

[1]袁安全.数学问题与解答[J].数学教学，2016 （10）：49