关于 lgΓ的 Kummer－Fourier 级数研究

周焕芹

(渭南师范学院数理学院，陕西 渭南714099)

1 引言和主要结果

定理1对于0＜Rez＜1，我们有

其中:γ表示欧拉常数。

ζ函数和Γ函数的定义和记号如下:

令 ζ( s ，x ) (0 ＜x≤1)表示赫尔维茨ζ函数，其定义为:

令 ζ( s)= ζ( s ，1)表示黎曼 ζ函数。

令Γ x()表示伽马函数，其定义为:

它满足递推公式:

并且满足互补关系式:

所以

其中:

表示多重对数函数。我们知道，这些函数都是C上的亚纯星形连续函数。

2 引理及其证明

引理1对于0 ＜Rez＜1，我们有［1］

如果 Rez ＞ 0，则有［2］

其中:A1x()表示第一Clausen函数，

引理2对于Rez＞ 0，有［5］

引理3

引理 4(Kummer－Fourier级数)对于0 ＜x＜1，有

3 定理的证明

证明 将所得到的公式(14)中的A1x()代入式(8)可推出

由此可见，利用式(6)和(7)可得

其中:

交换积分与求和运算顺序，有

进行计算得到

因此

将式(25)代入式(23)，就推出了公式(1)，完成了证明。