一类解析函数的三阶Hankel行列式

张海燕， 汤 获， 马丽娜

（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024000）

1 引言及预备知识

设A表示单位圆盘D ＝ ｛z∈C：｜z｜＜1｝内单叶解析且具有如下形式的函数族

设P表示单位圆盘D内具有如下形式且满足条件 Re p（z）＞0的函数族

定义 1［1］设函数 f（z）和 g（z）在单位圆盘 D内解析.如果存在D内的Schwarz函数ω（z）满足：ω（0）＝0，｜ω（z）｜＜1 且 f（z）＝g（ω（z）），则称 f（z）从属于 g（z），记为 f（z）≺g（z）.特别地，如果 g（z）在D上是单叶的，则

2013 年，Bansal［2］研究了函数类（A，B）的二阶Hankel行列式｜a2a4｜，并得到了其上界估计.

定义 2［2］设（A，B）具有（1）式的形式且满足下述条件的函数全体

其中，-1≤B ＜A≤1，0≤γ≤1，τ∈C＼｛0｝.1976 年，Noonan等［3］定义了函数f的q阶Hankel行列式

其中，a1＝1，n≥1，q≥1.

特别地，有：

因为 f∈A，a1＝1，故有

易知，当 μ ＝ 1 时，Fekete 等［4］估计 ｜a3-｜即是｜H2（1）｜.

近年来，许多学者研究了各类解析函数的二阶Hankel行列式H2（2），得到了其上界估计，详见文献［5-8］.对于各种不同的函数类，很多作者进一步对三阶 Hankel行列式H3（1）做出了研究，如文献［9-14］.Bansal［2］研究了函数类（A，B）的二阶Hankel行列式｜a2a4-｜，得到了其上界估计.在此基础上，本文给出了函数类（A，B）的三阶Hankel行列式H3（1）的上界估计，推广了其已有的结果.

2 主要结果

除非特别说明，假设-1≤B＜A≤1，0≤γ≤1，τ∈C＼｛0｝.为了证明本文结论，需要如下引理.

引理 1［15］如果 p（z）∈P，则

引理 2［16］如果 p（z）∈P，则存在复数 x 和 z且｜x｜≤1，｜z｜≤1，使得

其中，ω（z）是 Schwarz函数且满足 ω（0）＝0，｜ω（z）｜＜1，z∈D.令

分别比较（6）式等号两边 z、z2、z3、z4的系数，得：

从而由引理1可得

定理1得证.

证明 由（7）和（8）式可得

设｜x｜＝ t，0≤t≤1，c1＝ c，c∈［0，2］，又因为｜z｜≤1，则由三角不等式及引理2可得

F（c，t）＝ ｜T ｜t（4-c2）+｜TB+P ｜c2，从而有

因此函数 F（c，t）关于变量 t单调递增，故函数F（c，t）在 t＝1 处取得最大值，即

进而有 G′（c）＝ -2c｜T｜+2c｜TB+P｜，令G′（c）＝0，则有 c＝0，或｜TB+P｜＝ ｜T｜.下面分 2 种情况讨论.

1）当｜TB+P｜＜ ｜T｜时，即有 G′（c）＜0，函数G（c）关于 c单调递减，从而 G（c）在 c＝0处取最大值，即

2）类似地当｜TB+P｜＞ ｜T｜，此时有 G′（0）＞0，则函数 G（c）关于 c单调递增，从而 G（c）在 c＝2处取得最大值，从而有函数 F（c，t）在 t＝1，c＝2 处取得最大值，即｜a3-｜≤4 ｜TB+P ｜.综上可知，定理2得证.

证明 由（7）～（9）式可得

设｜x｜＝ t，0≤t≤1，c1＝ c，c∈［0，2），又因为｜z｜≤1，则由三角不等式及引理2，可得

1）当 t＞t*时，则有∂F／∂t＜0，即函数 F（c，t）关于 t单调递减，F（c，t）在 t＝0 处取得最大值，即

若 c＝0，有 G″（0）＝ -4｜Q｜＜0，即函数 G（c）在 c＝0 处取得最大值，从而可得函数 F（c，t）在 t＝0，c＝0 处取得最大值，也即｜a2a3-a4｜≤8｜Q｜.

2）类似地，当0 ＜t＜t*时，有∂F／∂t＞0，即函数F（c，t）关于 t单调递增，F（c，t）在 t＝1 处取得最大值，即

因为 G″（r）＜0，所以函数 G（c）在 c＝r处取得最大值.综上可知，函数 F（c，t）在 t＝1，c＝r处取得最大值，从而有

t*、Q、M 分别由（13）、（14）和（17）式给出.

证明 因为

将（3）～（5）、（11）、（12）和（18）式代入到（19）式中，即得定理5.