一类四阶非线性Schrödinger方程解的整体适定性

祝佳玲， 米彩莲， 杨 晗

（西南交通大学数学学院，四川成都611756）

本文研究非线性Schrödinger方程的初边值问题

其中，u＝u（t，x）是复值函数，p＞0 为常数，Ω⊂R4为边界充分光滑的有界区域，n为方向向量.

Schrödinger方程是量子力学的基本方程，它描述了微观粒子的局域特征和波-粒二象性，考查了在非线性系统中粒子之间的相互作用.对于非线性Schrödinger方程，已有许多作者进行了广泛的研究［1-13］，其中 Brezis等在文献［1］中考虑了二阶非线性 Schrödinger方程

的初边值问题，其中，p＝2，Ω⊂R2，且具有紧的光滑边界.采用的方法是借助半群理论、能量估计及B-G型不等式，建立了相应的先验估计，得到问题（2）的经典解的整体存在性.事实上，对于0＜p≤2，采用同样的方法，可以证明文献［1］中的结论均成立.Tsutsumi［2］研究了文献［1］的推广情形，即研究了如下的非线性Schrödinger方程的初边值问题

其中，Ω⊂R2是有界域，边界光滑有界，f：R+→R 是（0，∞）上的 C2函数，满足

p∈［1，∞ ），Ci是常数.文献［2］建立了新的 B-G型不等式，证明了当2≤p≤3时光滑解的整体存在性.本文采用以上方法研究四阶非线性Schrödinger方程的初边值问题.

文献［1］中B-G型不等式是对经典的Sobolev不等式Hs嵌入到L∞（n为空间维数）情形的改进，即把由线性增长控制减弱为由对数增长控制.本文采用了这一改进，方法即引用B-G型不等式，借助Galerkin方法，得到解的整体适定性，并利用Gronwall不等式证明了解的唯一性.

1 解的整体适定性

本文采用的方法是Galerkin方法，其过程是常规步骤的实施，本文只给出解的相应先验估计.

为了得到解的相应先验估计，准备工作如下.

引理 1.1［4］（B-G 型不等式） 设 Ω⊂R4为边界充分光滑的有界域，u∈（Ω），其中 σ≥2，且‖u1，则存在常数 C，使得不等式成立.

对于引理1.1，取 n＝4，σ ＝3，则有更精细的B-G型不等式

对任意的 u∈H4（Ω），且‖u‖H2（Ω）≤1.

引理 1.2［5］（Gagliardo-Nirenberg 不等式）设Ω为光滑有界域，j、m是整数，p为实数θ≤1，且0≤j＜m，1≤q，r≤∞，则当

对任意 u∈Wm，r（Ω）∩Lq（Ω），存在正常数 C1和C2，使得

引理 1.3 令 u ＝u（x，t）是问题（1）的光滑解，则有质量守恒

证明 对方程（1）与¯u作内积，考虑其虚部，则有

故（7）式成立.

C是与初值有关的正常数.

引理 1.4 令 u ＝u（x，t）是问题（1）的光滑解，则有

由于 H2（Ω）嵌入到 L2（p+1）（Ω），所以（10）式成立.

引理 1.5 令 u ＝u（x，t）是问题（1）的光滑解，且 p≥1，则有

其中C为常数.

由Sobolev嵌入定理及引理1.4得

由（14）～（16）式得（13）式成立.

若把工作空间定义为 X＝｛u｜u∈H6（Ω）∩（Ω），Δ2u∈（Ω）｝，则有如下定理.

定理1.7 假设1≤p≤5，且 Ω⊂R4为充分光滑的有界区域，对任意的u0∈X，则对任意的T＞0，方程（1）存在唯一解 u ＝u（x，t），使得

利用方程（1），分别对（17）式两边作估计有：

第一项

其中C为常数.

令 G（u）＝ ‖Δut‖L2（Ω），将不等式化作方程，并对两边关于时间t求导，得

即 1≤p≤5.

由方程（1）易得

下证唯一性.设 u1、u2为方程（1）的2 个解，令w＝u1-u2，则w满足下列方程

其中C为常数.因此，唯一性得证.