先学后教，弹性预设—— 高中数学例题教学实践探索

☉江苏省宜兴中学 郭骏聪

一、前言

例题教学是高中数学课堂教学中的重要环节，学界将案例教学定义为：以新课程标准为基础，将知识、技能、方式、价值观及情感态度联系起来，是数学思想与数学能力在高考纲要中的结合反映.例题教学能直接影响本节课教学目标的实现，并且也能影响学生对于本节课数学知识与技能的掌握程度.“教学”是教师的“教”，但不仅是学生的“学”，也是教师的“学”.在高中数学课堂中，若教师不能熟练把握例题教学的方式，不仅会达不到预想效果，还能影响学生学习数学的兴趣.

二、设计思考

由于高中数学具有较强的抽象性，要求学生具有良好的数学思维能力，在高中数学课堂中，教师通常采用例题教学激发学生兴趣，提高教学效果.但目前大部分教师未能掌握高中数学例题教学方式，也未能做到“先学后教，弹性预设”.文本设计高中数学例题教学的主要教学方式即明确教学目标，联系生活情境教学，以学生为主体，改善教学方式及适量例题，让高中数学教师真正做到“先学后教，弹性预设”.

三、案例预设

（一）明确教学目标，合理选择例题

例题是教材的重要组成部分，教材上的例题教学目标明确，并具有知识性、探索性及典型性.高中数学教师根据考纲对本节知识的要求，合理选择例题.

教学片断1

师：同学们，通过学习“直线与方程”我们知道直线可以用方程表示，那么请同学们思考一下，不属于直线的圆能否用方程表示呢？

生1：既然直线可以用方程表示，那么圆应该也能用方程表示.

师：很好，同学们还有什么不同的意见吗？

生2：圆不能用直线表示，因为圆不是直线.

生3：圆虽说不是直线，但是满足一定的条件应该可以用方程表示.

生4：根据方程的定义与圆的概念，圆应该可以用方程表示.

师：同学们都有自己的见解，接下来我们一起根据课本例题，探索圆究竟能不能用方程表示.

教师引导学生根据课本的“赵州桥”的例子逐步推出圆的标准方程，并且根据课堂“隧道”的例子探究出圆的一般方程.

师：通过探索课本上的例题我们知道圆是可以用方程表示的，也具有标准方程，同学们能说出圆的标准方程吗？

生：（x-a）2+（y-b）2=r2，其中（a，b）为圆心坐标，r为圆的半径.

师：已经知道了圆的标准方程，那还记得圆的一般方程吗？

生：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）是圆的一般方程.

片断解析：关于“圆与方程”（高中数学必修2，苏教版）的教学目标主要包括：①掌握圆的标准方程与一般方程；②能独立推出圆的标准方程与一般方程；③能应用圆的方程解决一些简单的问题；④培养学生用坐标法研究几何问题的能力等.通过合理选择例题，快速提高学生学习效果，进而达到教学目标.

（二）联系生活情境，活跃课堂氛围

高中数学案例教学中，教师根据学生生活实际设计案例，既能活跃课堂氛围，又能提高学生在实际生活中对数学知识的应用能力与探索能力.

教学片断2

师：我们班的语文、数学上次测验优秀者都有哪些同学呢？

生：语文测验优秀者有A（表示语文测验优秀者的名字），数学测验优秀者有B（表示数学测验优秀者的名字）.

师：我们班级的学生都很棒，根据同学们所说的名字，有部分同学既是语文测验优秀者又是数学测验优秀者，那么请同学们思考这中情况如何用集合表示呢？

师：（同学们思考2分钟后）一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，成为A与B的交集.记作A∩B，读作A交B，可表示为A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

学生熟练掌握交集的定义后，教师引导学生学习并集.

师：通过交集的定义我们可以知道既是语文测验优秀者又是数学测验优秀者的同学用集合表示的话就是两科测验优秀者的交集.那么接下来请同学们思考我们班所有语文测验优秀者与英语测验优秀者能用集合来表示吗？

生1：能，因为集合都有交集，肯定也能表示其两者的集合.

生5：不能，若能那会不会和补集冲突呢？

师：很好.一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，成为A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，可表示为A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

片断解析：通过学生测验成绩，教师引导学生学习集合“交集、并集”（高中数学必修1，苏教版），在例题教学中联系学生生活讲解例题，有利于活跃课堂氛围，培养学生应用数学知识的意识，训练学生在生活中发现数学的探索能力.

一般情况 在全部纳入研究的854例患者中，697例(81.6%) 被诊断为SA，其中阻塞性SA患者662例、中枢性SA 35例。与非心力衰竭组患者和HFrEF组患者相比，HFpEF组患者年龄较大(P<0.001)，合并高血压比例较高(P=0.004)。HFrEF组患者与非心力衰竭患者和HFpEF组患者相比，男性(P<0.001)和吸烟(P=0.002)的比例较大，且合并糖尿病(P<0.001)、慢性肾功能不全(P<0.001)和冠心病(P<0.001)比例较高(表1)。

（三）以学生为主体，改善教学方式

新课改强调学生为课堂的主体.高中数学教学效果取决于学生学习成果，因此教师可结合班级学生特点、数学基础、学习能力等设计例题教学方式.

教学片断3

问题1：双曲线的两个焦点坐标为F1（5，0），F2（-5，0），双曲线上一点P到F1、F2的距离之差的绝对值为8，求双曲线的标准方程.

问题2：M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足||PM|-|PN||=2，求点P的轨迹方程.

问题3：已知双曲线2x2-y2=2，过点P（2，1）的直线l与双曲线相交于A、B两点.当直线l绕P点转动时，求AB的中点M的轨迹方程.

问题4：已知双曲线16x2-9y2=144有相同的渐近线，并且经过点，求双曲线的标准方程.

师：请同学们从4个问题中任意选择至少2道问题，并结合双曲线的定义及标准方程进行解答，并写出详细的解题步骤；解题速度较快的同学可以将4道题全部解答.

学生根据自己的意愿选2至4道题解答.

片断解析：在求“双曲线标准方程”（高中数学选修1-1，苏教版）例题设计中，高中数学教师并没有仅设置1道题让学生解答，而分别设计了4道不同难度的例题让学生自主选择解答，充分体现以学生为课堂主体，满足学生学习需求.

（四）选择适量例题，提高教学效率

例题教学的教学效果并不在于例题的数量，而在于例题讲解的精准与巧妙，通过熟练掌握例题解题思维与方式，学生能够达到预想学习效果.

教学片断4

师：很好，看来同学们都已熟练掌握解决此题的方式.通过这道例题，我们可以得出，同样的题目具有不同的解答方式，同学们可以根据自己的学习习惯或者兴趣爱好至少要熟练掌握两种以上的方法解答，当运用第一种方法解答不出时，就利用第二种方式，甚至第三种，直到解答出来为止.再联想到我们生活中，实现目标的方式不仅只有一条路，当同学们这条路走不通时，还可以想一想是否有其他的路能走.

片断解析：在高中数学例题教学法中，教师利用一道例题讲解三种不同的解答方式，让学生熟练掌握多种解答方式，由此可见，选择适量例题，利用不同的方式讲解，同样也能提高教学效率.

四、教学反思

高中数学例题教学能够帮助学生养成良好的学习习惯，也能帮助教师摆脱传统教学理念.例题教学基本理念要求教师自身学会并熟练掌握例题教学方式，才能在充分发挥例题教学于高中数学课堂的价值，进而达到教学目标.对于明确教学目标，合理选择例题而言，教师需要根据高中数学新课程改革的要求，以及高考大纲精准选择典型例题，通过讲解经典的例题能够让学生达到“举一反三”的效果.作为高中重要的核心课程，数学具有抽象性.由于学生学业繁重，压力较大，对数学学习激情较为薄弱，数学教师根据学生生活实际举例子，有利于唤醒学生对于数学的学习意识，巩固学生对知识的印象，而且还提高了学生对数学知识的应用能力.以学生为本是目前所有学科改革的方式，高中数学教师尽量根据学生的特点及学习能力来选择例题，让每位学生都能够体验学习数学的乐趣，进而达到教学目标.在高中数学例题课堂中，例题不在量多，而在于典型、精准.教师通过详细讲解一道例题，学生就能拥有解题思维，并熟练掌握解题方式，提高学习效率.当然，关于高中数学例题教学实践方式不仅只有这几种方式，需要高中数学教师在实践教学中不断学习创新例题教学方式再进行教学，达到弹性预设效果，才能够推动高中数学教学目标的实现.