分类例谈平面向量数量积的解题策略

☉江苏省启东市第一中学 朱海林

平面向量数量积是平面向量的重要知识之一，也是近年高考试卷中常见常新的考点之一，常见的类型是数量积的确定、最值的求解等.解决平面向量数量积的关键在于向实数转化的过程，其转化过程是解决问题的重中之重.本文就平面向量数量积的常见解题策略加以实例剖析，供大家参考.

一、定义法

根据平面向量数量积的定义，平面向量a与b的数量积a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a与b的夹角，θ∈［0，π］.

例1 （2017·全国Ⅰ理·13）已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=______.

分析：结合题目条件，通过关系式|a+2b|的平方展开，结合平面向量的模运算与数量积运算，利用定义法来转化，进而确定对应的关系式的模问题.

解：由于|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，则有

点评：涉及平面向量数量积的问题中已知向量a与b的模或夹角时，往往采用定义法来转化比较简捷快速.特别需要注意的是寻找两个向量a与b的夹角θ时，要使得向量a与b的起点相同.

二、投影法

平面向量数量积a·b=|a||b|cosθ的几何意义是其中一个向量的长度乘以另一个向量在其方向上的投影，即a·b=|a|（|b|cosθ）或a·b=|b|（|a|cosθ），结合向量的投影找联系来转化.

例2 如图1，O为以∠BAC为钝角的钝角△ABC的外接圆的圆心，且AB=4，AC=2，M为BC边上的中点，则______.

分析：根据三角形外心的特征知，外心O在AB，AC上的投影恰好为相应边的中点E，F，而根据投影知结合几何性质来分析与处理即可.

解：如图1，分别取AB，AC的中点为E，F，则外心O在AB，AC上的投影恰好为点E，F.

点评：涉及平面向量数量积的问题中已知几何图形中出现与之相关的垂直条件时，尤其是在垂足确定的情况下，如直角三角形，菱形对角线，三角形的外心等，往往采用投影法来转化比较直观可行.

三、基底法

在解决平面向量数量积时，有时无法寻找到计算对应向量a与b的数量积的要素（相应的模、夹角），可以考虑用合适的两个不平行的向量作为基底将a与b表示出来，再根据条件加以分析与求解.正确且合适选择平面向量的基底是解决问题的关键.

例3 （2016·天津文·7）已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为（ ）.

分析：结合图形特征，选择作为一组基底，通过向量的线性运算加以转化，再利用数量积公式加以分析与求解.

解：由于而

点评：涉及平面向量数量积的问题中无法直接计算对应向量a与b的数量积，往往可以通过合适基底的选取，进行合理地转化与应用，使得相关向量的线性转化有目标，为进一步的数量积运算奠定基础.

四、坐标法

平面向量的数量积a·b=x1x2+y1y2，其中向量a=（x1，y1），b=（x1，y1）.通过已知向量的坐标，或通过巧妙构造直角坐标系，利用坐标法来求解相应的平面向量数量积问题，是高考中比较常见的一类技巧策略.

例4（2016·山东文·13）已知向量a=（1，-1），b=（6，-4），若a⊥（ta+b），则实数t的值为______.

分析：利用平面向量的坐标运算，结合条件a⊥（ta+b），通过数量积a·（ta+b）=0建立关系式，利用坐标法来求解对应的参数值.

解：由于ta+b=t（1，-1）+（6，-4）=（t+6，-t-4），

而a⊥（ta+b），则有a·（ta+b）=（1，-1）·（t+6，-t-4）=t+6-（-t-4）=2t+10=0，解得t=-5.

点评：涉及平面向量数量积的问题中已知向量的坐标或是易于建系并写出点的坐标时，可以采用平面向量数量积的坐标法来处理.特别对于一些方便构造直角坐标系的平面向量问题，合理构造直角坐标系，结合条件建立与坐标有关的参数关系式，进而确定向量的坐标，再结合平面向量数量积公式来处理，解答过程流畅，解题方法巧妙.

五、极化恒等式法

例5（2016·江苏·13）如图2，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，的值是______.

极化恒等式

分 析 ：根据条件均为不变的向量，通过极化恒等式的转化即可来处理相应的数量积问题.

点评：涉及平面向量数量积的问题中有关向量加、差的模问题时，可以采用与对相关的极化恒等式来处理，其是针对特殊关系式下相应恒等式成立时的特殊方法.利用极化恒等式来解决数量积问题，可以使得问题的解决简洁、高效，但要注意使用的特殊情况.

六、三角形公式法

例6已知为边BC的中点，则______.

分析：根据条件利用三角形公式加以转化，再结合平面向量的中点公式来转化即可求解相应的向量的模问题

点评：涉及平面向量数量积的问题中涉及三角形的三边的长度与相应边的向量的数量积时，可以根据三角形公式法建立相应的平面向量的数量积公式，结合条件来合理转化与应用.利用三角形公式法来处理，思维独特，方法巧妙.

研究平面向量数量积问题是实现平面向量的几何问题实数化，根据不同的题目类型，选择行之有效的方法与解题策略来处理对应的平面向量数量积，使得问题的解决合理、有效、可行、正确，达到数与形的紧密结合，知识与能力的有效融合.