一道圆中动点问题的解法赏析

2018-10-22江苏省张家港市乐余高级中学张新村

中学数学杂志 2018年19期

☉江苏省张家港市乐余高级中学张新村

【模考真题】如图1，已知AC=2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径，在AC同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点（不含端点A，B，C），且BM⊥BN，则的最大值为_____.

【思路点拨】本题主要考查圆上动点问题、向量垂直的充要条件、向量数量积的运算、最值问题等，解决问题的关键主要是对题设条件中BM⊥BN的处理，以及两个半圆的作用的分析，最终所求的最大值无非两种思路：一是转化成函数，求最大值；二是利用基本不等式求最大值.

一、解析几何法

题中既然提及“AC=2，B为AC的中点”，不妨考虑写出两个半圆的方程，设出动点M，N的坐标，最后转化成函数最值问题.

解法1：以点B为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2所示.因为AC=2，B为AC的中点，所以A（-1，0），C（1，0），设动点M（x1，y1），N（x2，y2），易得以AB为直径的圆的方程为以AC为直径的圆的方程为x2+y2=1，所以整理得因为AB为直径，所以∠AMB=90°，因为BM⊥BN，所以∠MBN=90°，所以AM∥BN.而即

所以（x1+1）2（1-x22）=x22（-x12-x1），整理有x1=x22-1.

即（x1，y1）·（x2，y2）=0，所以x1x2+y1y2=0.

在水资源利用方面，河道能够在一定程度上调配水资源，实现对农业生产所需水资源的供给和满足农村居民生活用水需要。但随着水资源枯竭和污染等问题日益严重，河道的水资源调配功能大幅度降低，河道淤积问题在很多农村较为常见。这些趋势不利于农村发展和农村居民收入水平的提高。因此，农村河道整治工作十分必要。

点评：解析几何法在方程的应用上比较多，在等式的化简方面有些烦琐和技巧性，此解法一定要掌握圆的方程，整个解题过程中，在关键点处的等量代换也十分重要.

二、向量转化法

解法2：建立如图3所示的平面直角坐标系，取AB的中点为H，连接MH，过点M作MK⊥AB.设∠MAB=θ，因为HA=HM，所以∠MHB=2θ.因为AB为直径，所以∠AMB=90°，因为BM⊥BN，所以∠MBN=90°，且所以AM∥BN，所以∠NBC=θ.

三、数量积定义法

所求问题为数量积的格式，可以尝试将所求问题向量先转化，然后运用数量积的定义来解决.

解法3：如图4所示，设∠MAB=θ.因为AB为直径，所以∠AMB=90°.因为BM⊥BN，所以∠MBN=90°，所以AM∥BN，所以∠NBC=θ.

点评：向量数量积的定义是解决数量积问题的最根本的方法，此解法紧紧围绕着数量积的定义展开，当然，将以及∠MAB=θ的设定都非常关键.

四、辅助角法

前面两种解法中，我们都引入了角θ，下面我们仍然借助于辅助角θ，结合数量积的坐标运算形式求解.

解法4：建立如图5所示的平面直角坐标系，过点M作MH⊥AB，设∠MAB=θ.因为AB为直径，所以∠AMB=90°.因为BM⊥BN，所以∠MBN=90°，所以AM∥BN，所以∠NBC=θ.由题易知，A（-1，0），C（1，0），AM=ABcosθ=cosθ，AH=AMcosθ=cos2θ，MH=AMsinθ=cosθsinθ，所以BH=AB-AH=1-cos2θ=sin2θ，所以M（-sin2θ，cosθsinθ），N（cosθ，sinθ）.