真比例导引反高速目标拦截能力分析

2018-10-15雷虎民

系统工程与电子技术 2018年10期

周觐, 雷虎民

(空军工程大学防空反导学院, 陕西西安 710043)

0 引言

近年来,临近空间高超声速飞行器的飞速发展对我国战略防御以及国土防空构成了严峻威胁,研究反临近空间高超声速目标的先进制导控制技术迫在眉睫[1-2]。

比例导引制导律形式简单且易于弹上实现,在现役防空武器系统中得到了广泛应用[3]。在未来一段时间内,比例导引以及在其基础上发展而来的扩展比例导引、偏置比例导引等制导规律仍将作为主流制导律以应对临近空间高超声速目标威胁。因此,许多专家学者开展了面向高速目标拦截作战的比例导引制导律设计[4-6]。现有文献研究中基本上都是以特定的初始条件来检验制导律的有效性,对于初始条件的设置没有进行深入的考虑。事实上,末制导阶段的初始条件也是中制导阶段的终端条件,二者依靠中末制导交接班紧密衔接。末制导初始条件的设置对于中制导段的弹道设计以及终端条件约束设置起着决定性作用。因此在工程设计中,弹道设计人员更加关注末制导初始条件以及拦截能力,并以此为基础对中制导以及中末制导交接班设定条件约束。

捕获区域是分析制导律拦截目标能力的重要评判指标,其一般定义为:有效拦截目标并满足一定约束条件的拦截弹初始状态集合[7]。文献[8-11]对于纯比例导引制导律的捕获区进行了深入分析,但是其推导过程十分复杂,并且所分析的纯比例导引方式在现役武器系统尤其是装备寻的导引头的拦截弹上应用较少。借助于导引头测量得到的弹目相对运动信息,现役武器广泛采用真比例制导律形式,因此开展真比例导引的捕获区分析更具有工程针对性。文献[4-6]采用蒙特卡罗仿真的方法,通过多次模拟打靶得到了真比例导引以及反比例导引制导律捕获区的边界条件,虽然具有一定的借鉴意义,但是缺乏理论分析的支撑。文献[12-14]借鉴文献[8-10]的研究思路,利用微分几何的方法在改进极坐标系下推导得到了真比例导引捕获区的相平面图,但是在相平面内分析拦截弹的状态约束条件比较抽象,难以与实际飞行参数进行对应。文献[15]对能量约束下的动能拦截弹逆轨拦截攻击区进行了建模,基于拦截弹和目标的机动范围在攻击区中的投影推导得到了制导捕获区与逃逸区的计算方法,但是其推导过程只考虑了拦截弹的能量约束以及过载约束限制,未能结合具体的导引规律,所以得出的捕获区虽在拦截弹的能力范围内,但是很难找到一种合适的制导律将拦截弹精确导引至相应位置。

针对以上研究中存在的不足,本文对真比例导引反高速目标的拦截能力进行了理论性分析,推导得到了拦截弹成功拦截目标的充分必要条件以及目标速度前置角范围约束,给出了拦截非机动目标作战的静态捕获区以及拦截高速机动目标作战的动态捕获区构成,为末制导初始条件的设置、中末制导交接班状态约束以及中制导段弹道优化设计提供了一定的借鉴。

1 弹目相对运动与拦截条件分析

1.1 弹目相对运动分析

虽然临近空间高超声速目标具有较高的不确定性,但是依靠中末制导交接班前期多传感器探测信息支援以及合理优化交接班时刻弹上导引头的搜索方式,总能够以较高的概率探测截获目标[16-17]。在转入末制导后,一般认为拦截弹和目标的速度大小保持不变[18],目标速度超过马赫数5,巡航速度可达马赫数6～8[19],采用双脉冲推力发动机的防空导弹末速一般接近1 000 m/s[20-21],由于拦截弹和目标较大的相对速度,末制导持续时间很短,所以在末制导阶段二者所受到的重力影响可以近似忽略[22]。为克服拦截弹的气动舵面在临近空间稀薄大气中操纵效率低的缺陷,加快指令响应速度,临近空间防御拦截弹普遍采用直接力控制或者直接力/气动力复合控制[23-24],而且直接力的周期T很小,对制导指令的响应时间小于0.1 s[25]。基于以上分析,做出如下假设条件。

假设1装备在拦截弹上的导引头最大作用距离为Rmax,如果拦截弹和目标之间的距离小于Rmax,则认为导引头可以成功探测并捕获目标。

假设2在末制导阶段,认为拦截弹主动寻的时间较短,目标的速度VT和拦截弹的速度VM大小保持不变,速度比ρ=VT/VM为一个固定的常数,二者的加速度aT和aM只对速度方向产生影响。

假设3忽略拦截弹和目标之间过载加速度到实际控制量之间的指令延迟影响,忽略末制导过程中的重力影响。

在垂直平面内拦截弹和目标相对运动如图1所示。

图1 拦截弹和目标运动关系图Fig.1 Diagram of the relative motion between the interceptor and target

图1中XOY表示地面惯性坐标系,M和T分别表示拦截弹和目标,二者之间的相对距离为R,拦截弹和目标之间的连线称为视线,视线与X轴之间的夹角为视线角q。θM和θT分别为拦截弹和目标的弹道倾角,γ和η分别表示拦截弹和目标的速度矢量与视线之间的夹角,称为速度前置角。

从图1中可以得到拦截弹和目标的运动方程为

(1)

(2)

(3)

γ=θM-q

(4)

(5)

(6)

(7)

η=q-θT

(8)

(9)

(10)

1.2 拦截条件分析

定理1忽略末制导阶段重力加速度的影响,拦截弹成功拦截目标的充分必要条件为

sinγ=ρsinη

(11)

式中,ρ=VT/VM>1为拦截弹和目标的速度比。

证明将式(11)代入到式(10)中可以得到

(12)

根据式(11)可以进一步求解得到cosγ的表达式为

(13)

将式(13)代入到式(9)中可以得到

(14)

证毕

通过式(11)可以发现,如果拦截弹满足拦截条件,那么

-1≤ρsinη≤1

(15)

所以为保证拦截弹成功拦截目标,必须要求目标的速度前置角η满足

(16)

从式(16)可以发现,目标速度前置角所允许的范围与目标和拦截弹的速度比密切相关。随着目标与拦截弹速度比ρ的增大,目标所允许的速度前置角范围逐渐变小。

2 真比例导引拦截能力分析

2.1 非机动目标拦截能力分析

在中末制导交接班结束后,拦截弹进入末制导状态,如果交接班良好,拦截弹和目标满足拦截条件(11),并且目标机动性很小,那么拦截弹基本不需要任何制导控制指令就可以成功拦截目标;如果拦截弹和目标不满足条件(11),那么就需要依靠末制导律的作用对拦截弹状态进行调整,使修正后的拦截弹与目标速度前置角满足拦截条件(11),以确保对目标的成功拦截。

鉴于真比例导引的简单形式以及在国内外防空武器系统中的广泛应用,本文主要分析真比例导引的拦截能力。真比例导引的加速度指令表达形式为

(17)

Vc=VMcosγ+VTcosη

(18)

定义1真比例导引的静态捕获区(static capture region,SCR)是在拦截弹的速度前置角γ和目标的速度前置角η所组成的(γ,η)平面内,针对非机动高速目标拦截情形,只要中末制导交接班结束即末制导起始时刻,拦截弹的初始速度前置角γ0和目标的初始速度前置角η0位于静态捕获区内,依靠真比例导引作为末制导律,拦截弹都能成功拦截目标的区域。

定理2针对非机动高速目标拦截作战而言,在认为目标和拦截弹的速度比ρ=VT/VM>1并且保持不变的情况下,应用真比例导引得到的SCR可以表示为

SCR=(A1∩B1)∪(A2∩B2)

(19)

其中

(20)

(21)

(22)

(23)

f(γ,η)=η-arcsin(sinγ/ρ)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

证明针对非机动高速目标拦截作战情形,目标加速度aT=0,则式(7)可以进一步表示为

(31)

对式(8)进行求导,并将式(31)代入,可以得到

(32)

对于式(4)进行求导,并将式(3),式(17)和式(32)代入,可以得到

(33)

结合目标速度前置角满足的约束条件(16),认为目标速度前置角为小量,并且满足,

cosη≈1

(34)

将式(34)代入到式(33)中进行化简,可以得到

(35)

从式(35)可以看出,在由拦截弹速度前置角γ和目标的速度前置角η所组成的(γ,η)平面内分析,目标的速度前置角η的变化与拦截弹的速度前置角γ的变化表现为曲线(35)的形式。即,在目标不机动的情形下,目标的速度前置角η由拦截弹的速度前置角γ、真比例导引系数N、以及目标和拦截弹的速度比ρ决定。

进一步分析,如果拦截弹的速度前置角变化很小,并且满足

cosγ≈1

(36)

将式(36)代入到式(35)中,可以得到

(37)

对式(37)进行积分,可以得到

(38)

即在应用真比例导引作为末制导律的情况下,目标的速度前置角η和拦截弹的速度前置角γ在(γ,η)平面内将会表现为式(38)所示的斜率为1/(N(1+ρ)-1)的直线,其中γ0和η0分别为末制导起始时刻拦截弹速度前置角的初值以及目标速度前置角的初值。

证毕

由于拦截弹成功拦截目标的条件为式(11),当拦截弹和目标不满足式(11)时,在末制导律的作用下,拦截弹和目标的相对状态将以式(33)的变化形式,向式(11)进行调整。如果最终收敛到式(11)则能够成功拦截目标,如果不能收敛到式(11)则会造成拦截弹脱靶。所以临界状态应为式(33)与式(11)相切的情形。

对式(11)进行求导,并将式(13)代入到式(33)中进行联立,可以得到

(39)

可以得到切点为式(27)～式(30)所示的表达形式,即为静态捕获区的边界点。

图2给出了导航系数N=5,目标和拦截弹的速度比ρ=2情形下的真比例导引静态捕获区。分析图2可以得到以下结论。

图2 N=5,ρ=2的静态捕获区Fig.2 Diagram of SCR with N=5 and ρ=2

(1)结合式(16),由于目标和拦截弹的速度比ρ=2,目标速度前置角范围为-30°≤η≤30°,如果目标速度前置角超出此范围约束,目标将位于静态捕获区之外,应用真比例导引将无法拦截目标。

(2)针对非机动高速目标拦截作战而言,如果中末制导交接班时拦截弹的位置保持不变,即弹目视线角保持为定值,那么拦截弹的速度前置角必须约束在一定的范围内才能成功拦截目标。如图2所示,如果目标速度前置角为0°,那么静态捕获区内拦截弹的速度前置角范围为[-170°,170°],如果目标速度前置角为10°,那么静态捕获区内拦截弹的速度前置角范围为[-130°,160°]。

2.2 机动目标拦截能力分析

第2.1节分析了目标不机动情况下的真比例导引静态捕获区,在真实的拦截情形中,目标可能会采取不同的机动形式来规避拦截弹的攻击,因此有必要对静态捕获区进一步研究得到目标机动情况下的动态捕获区。

定义1真比例导引的动态捕获区(dynamic capture region,DCR)是在拦截弹的速度前置角γ和目标的速度前置角η所组成的(γ,η)平面内,针对机动目标拦截作战而言,只要中末制导交接班结束即末制导起始时刻,拦截弹的初始速度前置角γ0和目标的初始速度前置角η0位于动态捕获区内,依靠真比例导引作为末制导律,拦截弹都能成功拦截目标的区域。

定理3针对机动高速目标拦截作战而言,在认为目标和拦截弹的速度比ρ=VT/VM>1并且保持不变的情况,目标的最大机动加速度为aTmax,应用真比例导引得到的DCR可以表示为

DCR=(A1∩B1∩C1)∪(A2∩B2∩C2)

(40)

其中

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

证明对式(8)进行求导,并将式(7)代入可以得到

(47)

对式(4)进行求导,并将式(3)和式(47)代入可以得到

(48)

将式(34)和式(36)代入到式(48)中得到

(49)

根据微分对策相关理论[26-28],末制导过程中目标的最佳机动形式为垂直于视线方向施加最大的加速度,因此,假设目标加速度aT始终为其最大加速度aTmax保持不变。对于式(49)两边进行积分可以得到

(50)

式中,γ0和η0分别为拦截弹速度前置角的初值以及目标速度前置角的初值;t为时间。

从式(50)可以看出,在目标机动的情况下,拦截弹的速度前置角γ和目标的速度前置角η不再满足式(38)中简单的线性关系,而是增加了目标机动的影响项(N+Nρ-1)aTt/VT,该影响随着末制导时间t的增加而逐渐变大。

根据定理1,拦截弹需要满足条件(11)以确保对目标的成功拦截。将式(50)与式(11)进行联立,可以得到

γ0-arcsin(ρsinη)=0

(51)

同样,认为目标的速度前置角为小量,并满足

(52)

将式(52)代入到式(51)中求解得到目标机动情况下的速度前置角表达式为

(53)

根据以上分析,目标的速度前置角的极值应该出现在末制导结束时刻,末制导结束的时间tf可以估算为

(54)

从式(53)可以看出,在目标机动情况下,目标的速度前置角η主要受到目标与拦截弹的速度比ρ,导引系数N,目标加速度aT,末制导时间tf等的影响,如果认为拦截弹的初始速度前置角为小量,那么式(53)可以进一步简化为

(55)

结合式(16)中目标速度前置角的允许范围以及式(55),可以得到中末制导交接班完成时刻目标速度前置角为η0,目标速度为VT,末制导时间为tf,目标和拦截弹速度比为ρ,导引系数为N条件下目标机动加速度范围

(56)

(57)

证毕

图3给出了导航系数N=5,目标和拦截弹的速度比ρ=2,目标最大机动加速度aTmax=5g,末制导时间tf=22 s,目标速度VT=3 112 m/s情形下的真比例导引动态捕获区。分析图3可以得到以下结论。

图3 N=5,ρ=2的动态捕获区Fig.3 Diagram of DCR with N=5 and ρ=2

(1)由于目标的机动,应用真比例导引得到的动态捕获区相比于静态捕获区大大减小。在静态捕获区中,目标的速度前置角允许范围只与目标和拦截弹的速度比ρ相关,而在动态捕获区中,目标的速度前置角允许范围还与目标最大加速度aTmax,导引系数N,末制导时间tf等相关。

(2)动态捕获区属于静态捕获区中的一部分,针对机动目标拦截作战而言,拦截弹的位置约束相较于非机动目标拦截情形更加严格。在中末制导交接班完成时刻,拦截弹必须处于合适的末制导初始位置,确保目标的速度前置角位于动态捕获区内。

3 仿真验证

为验证本文中对真比例导引反高速目标拦截能力理论分析的有效性以及合理性,开展以下3种情形下的数字仿真。仿真中设定拦截弹的弹上导引头最大作用距离为Rmax=100 km,拦截弹和目标的初始参数设置如表1所示。

表1 拦截弹和目标初始参数设置

从表1中可以发现,目标和拦截弹的初始距离等于拦截弹弹上导引头的最大作用距离,拦截弹顺利进入末制导。拦截弹在末制导阶段采用真比例导引,导引系数为N=5。目标和拦截弹的速度比为ρ=3 113/1 556.5=2。目标的初始弹道倾角为-180°,目标和拦截弹的初始视线角为-10°。

情形1仿真情形1的设置主要是为了检验真比例导引捕获区的有效性。在本情形中,目标分别采取非机动,3g加速度机动以及5g加速度机动3种不同的运动方式,拦截弹1,拦截弹2和拦截弹3为拦截目标得到的相应拦截轨迹。通过进一步计算可以得到,仿真情形1中的目标初始速度前置角为10°,拦截弹初始速度前置角为-70°,根据式(16)和式(57)可以得到,当目标不机动时,目标速度前置角范围为η∈[-30°,30°],当目标采取3g机动时,目标速度前置角范围为η∈[-13.5°,13.5°],当目标采取5g机动时,目标速度前置角范围为η∈[-5.77°,5.77°]。因此,仿真情形1的初始条件设置位于目标非机动SCR和3g机动的DCR内,而位于目标5g机动DCR外。仿真结果如图4～图6所示。

图4 情形1中拦截弹和目标轨迹Fig.4 Curves of the interceptor and target trajectories in scenario one

图5 情形1中拦截弹过载Fig.5 Curves of the interceptor overloaded in scenario one

图6 情形1中拦截弹和目标速度前置角变化曲线Fig.6 Curves of the interceptor and target velocity heading angels in scenario one

图4给出了情形1中拦截弹和目标的轨迹曲线,从图中可以看到,在目标不机动以及3g机动情况下,拦截弹能够利用真比例导引律成功拦截目标,弹道比较平滑。从图5给出的拦截弹过载曲线也可以看出,拦截弹1和拦截弹2的过载比较小,基本在-10～20g范围内。在目标5g机动情况下,拦截弹3脱靶,从图5中也可以发现,拦截弹的过载在末端时刻发散,超过了一般拦截弹的可用过载范围。图6给出了拦截弹和目标速度前置角变化曲线,从图中可以发现,在目标不机动情况下,目标的速度前置角和拦截弹的速度前置角近似呈现式(38)所示的线性关系,在SCR中从初始的(70,10)点运动到拦截曲线上的(10.50,5.23)点,满足了拦截条件(11)所以成功拦截目标。在目标3g机动情况下,目标的速度前置角由于受到自身加速度的影响,与拦截弹的速度前置角不再呈现线性关系,在DCR中由(70,10)点运动到拦截曲线上的(44.58,20.55)点,满足了拦截条件(11)成功拦截目标。在目标5g机动情况下,由于目标和拦截弹的初始条件在DCR之外,所以目标的速度前置角最终超过了式(16)的约束,目标和拦截弹的速度前置角从(70,10)点运动到DCR外的(145.15,65.93)点,未能满足拦截条件(11)所以脱靶。

情形2仿真情形1验证了真比例导引捕获区的有效性,在仿真情形2中,保持目标的初始速度前置角不变,通过改变拦截弹的初始弹道倾角从-180°～180°间隔5°进行遍历,观察拦截弹初始速度前置角的变化与SCR的关系。另外,为了观察目标和拦截弹的速度比ρ对SCR的影响,保持拦截弹速度不变,设置目标与拦截弹的速度比分别为ρ=2和ρ=3。仿真结果如图7～图9所示。

图7 情形2中拦截弹和目标轨迹Fig.7 Curves of the interceptor and target trajectories in scenario two

图8 情形2中拦截弹过载Fig.8 Curves of the interceptor overloaded in scenario two

图9 情形2中拦截弹和目标速度前置角变化曲线Fig.9 Curves of the interceptor and target velocity heading angels in scenario two

图7给出了情形2中拦截弹和目标的轨迹,从图中可以发现,只要中末制导交接班条件位于真比例导引SCR内,应用真比例导引可以成功拦截非机动高速目标。图8给出了情形2中的拦截弹过载曲线,从图中可以发现,随着目标和拦截弹速度比的增大,拦截目标所需的过载指令也将变大,这主要是因为式(17)中二者之间相对速度和视线角速率增大直接导致了指令加速度的增大。图9给出了情形2中的拦截弹和目标速度前置角变化曲线,从图中可以发现,当目标和拦截弹的速度比为ρ=2时,目标的初始速度前置角范围为η∈[-30°,30°],拦截弹的初始速度前置角范围为γ∈[-170°,170°],当目标和拦截弹的速度比为ρ=3时,目标的初始速度前置角范围为η∈[-19.47°,19.47°],拦截弹的初始速度前置角范围为γ∈[-175°,175°],说明随着目标和拦截弹速度比的增大,应用真比例导引得到的SCR将会减小,这也验证了高速目标相比于传统低速目标来说更加难以拦截。结合该结论可以得到,在拦截作战的中制导阶段应尽量优化弹道,将中末制导交接班时刻的拦截弹速度作为一项优化指标,通过降低末制导阶段目标和拦截弹的速度比来尽量增大末制导捕获区,以利于目标的成功拦截。

情形3仿真情形2中验证了应用真比例导引拦截非机动高速目标的SCR,在仿真情形3中,设置目标的机动过载为5g观察真比例导引拦截高速机动目标的DCR。通过保持目标初始速度前置角为η=0°,改变拦截弹的初始速度前置角得到的仿真曲线如图10所示,通过保持拦截弹的初始速度前置角为γ=0°,改变目标的初始速度前置角得到的仿真曲线如图11所示。

利用式(57)可以得到,当目标采取5g机动时,目标速度前置角范围为η∈[-5.77°,5.77°],因此保持目标初始速度前置角为η=0°,改变拦截弹的初始速度前置角的情形能够保证初始条件位于动态捕获区内,从图10中改变拦截弹初始速度前置角后拦截弹和目标速度前置角变化曲线中可以看出,拦截弹针对目标+5g机动形式的初始速度前置角范围为γ∈[-160°,30°],针对目标-5g机动形式的初始速度前置角范围为γ∈[-30°,160°]。通过进一步观察可以发现,拦截弹成功拦截目标情况下,目标的速度前置角都未超过式(16)的约束限制。图11给出了通过保持拦截弹的初始速度前置角为γ=0°,改变目标初始速度前置角情况下目标的速度前置角和拦截弹的速度前置角变化曲线,从图中可以发现,针对目标+5机动形式和-5g机动形式得到的DCR边界为η∈[-5.5°,5.5°],与式(57)中理论分析相一致,从而验证了DCR的合理性。