数学问题解答

2018年6月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2426形如n=4a(8b+7)(a,b∈N)的正整数不能表示成三个整数的平方和.

(浙江省富阳二中许康华 311400)

证明由x2≡0,1,4(mod8),得对任意的x1,x2,x3∈Z,

故形如8b+7(b∈N)的数不能表示成三整数的平方和.

所以当a=0时,对任意的b∈N结论都成立.

假设当a=l∈N,∀b∈N结论都成立.

当a=l+1时,如果存在某个b∈N,

所以x1≡x2≡x3≡0(mod2),

这与归纳假设矛盾.

所以当a=l+1时,对一切k∈N,结论都成立.

由数学归纳法知,结论成立.

2427设a,b,c是正实数，x,y,z是实数，求证：

≥xy+yz+zx.

(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 712000)

证明应用柯西不等式，得

于是，只要证明

等价于(ay+bz+cx)2+(az+bx+cy)2

≥2(ab+bc+ca)(xy+yz+zx),

等价于a2(y2+z2)+b2(z2+x2)+c2(x2+y2)

≥2abxy+2bcyz+2cazx,

等价于(ay-bx)2+(bz-cy)2+(cx-az)2≥0.获证.

(北京市芳草地国际学校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

证明如图，设MA=a，AP=x，PB=y，BN=b.

因为MN为⊙O的直径，PP1⊥MN，

=(x+y)(a+x)(b+y)

=xya+x2y+y2a+xy2+xab+x2b+yab+xyb.

(Ⅰ)

同理可得

=xya+y2a+yab，

(Ⅱ)

=xb(x+y+a)=x2b+xyb+xab，

(Ⅲ)

又AB·AP·PB=xy(x+y)=x2y+xy2.

(Ⅳ)

由(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ)得

因为AB=3，AP=x，

所以PB=(3-x)(0≤x≤3).

=2x2-8x+8=2(x-2)2,(0≤x≤3)

(福建省闽清教师进修学校 黄如炎 350800)

证明先探寻xx与x2的不等关系.

假设xx≥mx2+n，x>0，

令f(x)=xx-mx2-n=exlnx-mx2-n，

则f′(x)=(1+lnx)exlnx-2mx，

不等式等号成立时f(x)可能取得极小值，

此时f′(x)=(1+lnx)exlnx-x，

f″(x)=e(x-1)lnx-1+(1+lnx)2exlnx.

显然(x-1)与lnx同号，

所以e(x-1)lnx-1≥0，f″(x)≥0，

f′(x)在(0，+∞)递增.

又f′(1)=0，所以

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)递减，

当x∈(1，+∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，

把以上三式相加由柯西不等式得

(安徽省枞阳县宏实中学 江保兵 246700)

证明首先证明在△ABC中，

当点O,H为△ABC的外心和垂心时，

则有OH2=R2(1-8cosAcosBcosC).

当△ABC为直角三角形时，

显然有OH2=R2(1-8cosAcosBcosC).

当△ABC为锐角三角形时，

不妨设A≥B≥C，如图1所示.

由欧拉线的性质，知AH=2RcosA.

OH2=AO2+AH2-2AO·AH·cos∠OAH

=R2+(2RcosA)2-2R·2RcosA·cos(B-C)

=R2[1+4cos2A-4cosA(cosBcosC+sinBsinC)]，

=R2[1+4cosA(cosA-sinBsinC)-4cosAcosB·cosC]，

=R2(1-4cosAcosBcosC-4cosAcosBcosC)，

=R2(1-8cosAcosBcosC).

当△ABC为钝角三角形时，

不妨设A>B≥C，如图2所示.

图1

图2

由欧拉线的性质，知

AH=2Rcos(180°-A)=-2RcosA.

∠OAH=180°-∠OAD

=90°+(180°-∠ABC-∠CBD)

=270°-B-(90°-C)=180+C-B

OH2=AO2+AH2-2AO·AH·cos∠OAH

=R2+(-2RcosA)2-2R·(-2RcosA)·(-1)cos(B-C)

=R2(1-8cosAcosB·cosC).

综上，点O,H分别为△ABC的外心、垂心，

则有OH2=R2(1-8cosAcosBcosC).

四边形A1A2A3A4内接于圆O，

对△A1A2A3而言，有

对△A1A2A4而言，有

对△A1A3A4而言，有

对△A2A3A4而言，有

考虑到圆O的内接四边形A1A2A3A4对角互补，

2018年7月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2431已知数列{an}中,a1=1,当n≥1时,an+1

(浙江省宁波市甬江职高 邵剑波 315016)

2432设△ABC的三边长为a,b,c,对应的旁切圆半径分别为ra,rb,rc,则

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

2433如图，I是△ABC的内心，AI、BI、CI分别交外接圆于A1，B1，C1，且R、r分别为△ABC外接圆与内切圆半径.求证：

(Ⅰ)IA+IB+IC≤IA1+IB1+IC1

(1)

(Ⅱ)6r≤IA+IB+IC≤3R

(2)

(江西省九江市德安磨溪中学 胡文生 332000)

2434设正数a,b,c满足a+b+c=3，.求证：

(1)

其中“∏”表示轮换对称积

(四川成都金牛西林巷18号晨曦数学工作室 宿晓阳 610031)

2435设A，B，C为△ABC的内角，则

(陕西延安育英中学 尚生陈 716000)