对数学教学问题设置的思考①

鲍聪晓

(河南省基础教育教学研究室 450016)

1 前言

美国著名数学家哈尔斯说“问题是数学的心脏”．确实如此，有了问题，思维才有方向、思维才有动力．在课堂教学中，我们多次尝试通过问题设计，实施探究活动，通过问题的层层深入，引导学生深度思考，发展学生的理性思维．前段时间，参加了人教版初中数学经验交流会，观摩课“二次函数y=ax2的图象和性质”中问题设置的角度及其严谨的逻辑性，引发了笔者的深思．本文将从这节课的问题设计及课堂教学实施等角度，对数学课堂教学中“有高度、有层次、有逻辑的问题设计”进行思考与分析.

2 教学过程

2.1 关注知识的整体性提出问题

教师一上课并没有进行知识回顾，也没有直奔学习内容，而是提出了下面的问题：

问题1我们学习了一类新函数：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，知道了它的定义，我们接下来会研究哪些内容？

生：会研究二次函数的图象、性质和应用.

点评：考虑到知识的系统性与整体性提出问题1，可以引导学生思考函数模型研究的一般观念，引领学生自然合理地发现和提出问题．也能唤起学生学习一次函数的已有经验，回顾一次函数的研究思路：定义→图象→性质→应用．进而通过类比思考提出了本单元需要研究的问题：二次函数的图象、性质并用以解决问题．此问的提出对于学生整体把握本单元的学习内容有重要意义.

2.2 调动已有经验、探寻研究方式

问题2怎样研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质呢？在前面的学习中你获得过相关经验吗？

追问1：想一想，一次函数的图象和性质是怎样研究的？

生：先研究y=kx，再研究y=kx+b.

师生活动：教师从研究思路、研究内容、研究方法三方面，引导学生回忆一次函数的研究过程.

研究内容：函数图象的形状、位置及函数的增减性.

研究方法：分k>0，k<0两种情况进行研究；先画出具体函数的图象，观察归纳图象特征与函数性质，再由特殊推广到一般；数形结合地展开研究.

追问2：二次函数的研究思路、研究内容、研究方法又怎样呢？

生1：可以类比一次函数，从最简单的二次函数开始研究.

生2：可以先研究y=ax2的图象和性质.

学生规划出研究思路：先研究最简单的y=ax2.

师生活动：引导学生类比一次函数，制定出二次函数的研究思路、研究内容、研究方法.

研究思路：

研究内容：函数图象的形状、位置、函数的增减性，……

研究方法：分类：a>0，a<0；画出具体函数的图象，观察归纳图象特征与函数性质，再由特殊推广到一般；数形结合地展开研究.

点评：问题2的设置，是紧接问题1，在确定研究内容后，引导学生对研究问题的方式、方法进行思考，并自然地类比一次函数的研究进行思考，整体规划出研究二次函数的基本框架，明确本节课要研究的问题，为学生自主研究y=ax2的图象特征和性质做铺垫．此问的设置为学生掌握研究函数问题的一般方法提供了思路，有助于学生掌握解决此类问题的通性通法，有效地培养了学生的类比探究能力，整体规划能力.

2.3 开展探究活动，积累经验

探究y=ax2的图象和性质.

问题3怎样研究y=ax2的图象和性质？

师生活动：教师从研究思路、研究内容、研究方法三方面，引导学生规划研究过程.

研究内容：函数图象的形状、位置、函数的增减性，……

研究方法：分类：a>0，a<0；画出具体函数的图象，观察归纳图象特征与函数性质，再由特殊推广到一般；数形结合地展开研究.

点评：问题3是对问题2中研究内容的具体细化，意在引导学生借助问题3规划y=ax2的图象和性质的研究方案，是类比一次函数研究经验在实践中的具体实施．此问的设置有利于学生活动经验的积累，有利于增强学生分类讨论的意识.

问题4当a>0时，怎样研究y=ax2的图象和性质？

追问1：研究二次函数y=x2的图象和性质分几个步骤？

生：用描点法画图象、观察图象、得到性质这三个步骤.

追问2：画出图象并观察，请说出它的图象特征和性质有哪些？

师生活动：学生先独立画出图象，然后在教师引导下开展交流活动．学生从图象的形状、位置、增减性入手，观察图象的特征，探索函数性质，进而理解抛物线、顶点等概念．学生相互交流，说出函数y=x2的图象特征和性质．教师进一步引导学生反思思维过程：观察函数解析式特征→思考所列表格中的取值→画图象→思考图象的特征和函数的性质→回归解析式进行验证．最后归纳得到：

图象形状：抛物线、关于y轴对称.

图象的开口方向：开口向上.

图象的位置：图象经过一、二象限，经过原点(0,0)，最低点(0,0)是抛物线的顶点.

增减性：当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.

师生活动：学生独立画出图象，观察图象特征，归纳性质．得出：

当a>0时，抛物线y=ax2开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点(0,0)．当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．抛物线开口大小不同，a越大，抛物线的开口越小.

追问4：反思一下，我们是怎么研究a>0时二次函数y=ax2的图象和性质的？

生：先画出一些具体函数的图象，观察图象，归纳出图象的共同特征，得到函数的性质.

点评：问题4的设置意在通过类比，让学生在研究中实施从特殊到一般的研究思路，并通过4个环环相扣的追问，层层深入地明晰如何得到函数图象、如何研究图象、如何获得函数性质，最后引导学生反思，总结研究思路、研究内容和研究方法．此问借助画出的函数图象这一几何直观，让学生借助函数图象感知函数的形态和变化，进而通过逻辑推理获得函数性质．直观形象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成结论、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．本环节的活动让学生自主探究、通过画图建构几何图形，通过几何直观发现问题进行研究，通过归纳概括得出结论，让学生在“做数学”中“掌握数学”，很好地培养了学生的数形结合能力、发现和提出问题的能力；发展了学生的数学抽象、直观形象和逻辑推理等数学素养.

2.4 独立研究，强化经验

问题5如何研究当a<0时，二次函数y=ax2的图象和性质？

生：可以类比a>0开展研究.

师生活动：学生先独立完成，后小组合作，评价反思，问题修正，教师进行个别指导.

小组结论展示：当a<0时，抛物线y=ax2开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点(0,0)．当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小．a越大，抛物线的开口越大.

点评：此问是分类研究活动的进一步延伸，让学生类比a>0的情况，独立研究a<0的情况．学生在前面的学习活动中已经获得一定的研究经验，本环节的设置有利于学生进一步巩固研究经验、完善研究结论，发展实践能力.

2.5 归纳研究结论

问题6结合a>0和a<0的研究，请说说一般情况下函数y=ax2的图象特征和性质.

师生活动：引导学生相互补充，共同归纳出：

一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.

当a>0时，抛物线y=ax2开口向上，顶点是抛物线的最低点；

当a<0时，抛物线y=ax2开口向下，顶点是抛物线的最高点.

当a>0时，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大；

当a<0时，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.

当a>0时，a越大，抛物线的开口越小；

当a<0时，a越大，抛物线的开口越大.

师：关于抛物线的开口大小，怎样表示才会一致？

生：用|a|表示，即|a|越大，抛物线的开口越小.

点评：让学生在分类研究的基础上，归纳概括出二次函数y=ax2的图象特征和性质．类比与归纳是合情推理的主要形式，本环节的数学活动，学生通过自主探究，能很好发现问题、能很好地掌握合情推理，能严谨规范的表述出推导的结论，抽象出函数的性质，有效地培养了学生的逻辑推理与数学抽象核心素养；本环节通过讨论、交流、分享，学生既能理解知识间的联系、又能简洁精炼地进行表述，还能有效地进行数学交流，发展了学生有条理、合乎逻辑的思维品质.

2.6 反思学习过程

课堂小结

(1)本节课研究了哪类函数的图象和性质？得到了哪些结论？

(2)是怎样研究的？说说研究的思路、方法和内容.

(3)要继续研究二次函数的图象和性质，应该怎样研究？

点评：通过学生归纳总结，学生不仅从知识方面梳理了二次函数y=ax2的图象和性质，还从方法层面进行了再认识．通过第(2)问，学生总结出：通过类比学习，深刻体会到y=ax2与正比例函数研究思路、研究内容及研究方法一致性．此问的设置有利于学生建立知识间的联系，有利于学生总结活动经验、提升活动经验，可以使学生在活动经验中从感性认识上升到理性认识，进而理解数学、掌握数学．通过第(3)问的设置引导学生进行合理的、有逻辑的思考，有效地发展学生提出问题、分析与解决问题的能力.

3 教学思考

纵观“二次函数y=ax2的图象和性质”这节课，通过教学实施环节的6个问题，及小结环节的3个问题，引导学生的思维层层深入，让学生在问题思考中获得研究思路与方法，在实践活动中积累学习经验，在总结概括中提升认知与思维能力．反思这节课的问题设置，笔者有以下几方面的思考.

3.1 数学问题的设置要关注育人目标

本节课的目标之一是让学生在思考中积累学习经验，发展直观想象、数学抽象的素养．我们知道，经验、能力与方法是不可能直接交给学生的，它们需要学生在独立思考、自主探究、实践操作的过程中体验与提炼．若教学中仅以学生是否记住知识来设计问题，问题就会变得直白，不会引发学生的理性思考，是不可能发展学生的思维、提升学生能力的．若课堂教学中关注人的发展，以能力和素养立意，就会借助知识载体设计出引发学生深度思考的好问题，促进学生思维发展、能力提升．本节课以使学生掌握研究方法、积累活动经验、发展核心素养为目标来设置教学问题，使问题上升到一定高度，达到较深层次，进而自然、恰当、合理地引领了学生思维，促使学生在学习过程中经历了深度思考、发展了分析和解决问题的能力.

3.2 数学问题的设置要重视数学内容的整体性

数学教学要从数学学科的整体结构、核心内容和重要思想上整体把握和认识数学教学内容，使课堂教学成为一个融数学知识、技能、方法、思想和精神于一体的整体[1]．对于函数的学习，在初中教材中有一次函数、二次函数、反比例函数这三部分教学内容，让学生整体把握函数学习，让学生在每次学习活动中积累经验，才会使后续相关内容的学习显得清晰合理．在教学中设置有利于学生整体把握学习内容的问题，能使学生从整体的角度进行思考，有利于知识间的关联，增强学生的理解深度；有利于学生将同类问题类比探究，进而提炼方法与经验，增强分析解决问题的能力；有利于学生运用相关经验解决同类问题，增强学生的应用意识与创新意识．例如，本节课的第一个问题“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，知道了它的定义，我们接下来会研究哪些内容？”是基于整体把握函数的研究内容而设计的，用函数模型研究的一般观念引领学生自然合理地发现和提出问题．进而明确函数的研究思路：定义→图象→性质→应用．

3.3 数学问题的设置要关注研究问题的途径与方法的一致性

研究问题的途径与方法，是学生最需要积累的活动经验．设置关于研究途径与方法的问题，有利于学生提炼经验、形成方法．本节课第二个问题“怎样研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质呢？”是让学生对研究的途径与方法展开思考，并通过两个追问层层深入，引发学生完整地规划出研究策略：可以类比一次函数展开研究，可以按照从特殊到一般的顺序逐步进行研究.

3.4 数学问题的设置要关注学生思维的逻辑性

数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用．数学知识的学习、数学思维方法的训练，可以使学生养成数学地思维习惯，形成数学地观察世界、处理和解决问题的能力[2]．数学学科育人的独特功能，主要是培养学生的思维，特别是逻辑思维，要使学生学会思考，特别是学会“有逻辑地思考”，使学生成为善于认识问题、善于解决问题的人．问题的设置必须有逻辑性，环环相扣、层层深入、形成问题串，促使学生逐步深入思考．本节课的几个问题是按照这样的逻辑来设计的：要研究什么问题→初步打算怎么研究→是否有可借鉴的研究经验→从哪些方面开展研究→研究中会遇见什么问题→每个问题解决的方法和路径是怎样的→通过问题解决得到那些结论与经验→知识间的联系→如何应用．借助有逻辑地思考，使学生正确理解数学知识，形成用数学知识合理解释直至创造性地解决问题的能力．

3.5 数学问题的设置要关注学科素养的内隐性

学生数学素养的发展离不开知识的理解、掌握和应用．在数学学习过程中，要让学生对重要的数学概念、思想方法有反复理解的机会，让学生在理解掌握知识的过程中逐步发展数学素养．教学中可以借助各环节问题的设置，使学生明确在各个环节需要经历的过程、需要掌握的知识、需要发展的素养，让素养培养从内隐趋于外显．本节课第四个问题中设置的追问3，让学生经历独立画出函数图象、观察图象、归纳概括图象特征、总结出函数性质的过程，使学生习得了知识，并提升了学生的数学抽象、直观想象等素养．课堂教学中数学问题的设置，不仅要有知识掌握、方法习得、思想渗透的立意，还要有发展学生素养的立意，只有这样，才能在学生掌握知识、发展能力的同时促使核心素养的发展.