察其形 思其源 谋其法—— 对一道几何最值问题解法的思考

☉浙江省三门县三门初级中学 丁坚锋

一、缘起

2018年5月5日晚上，一位朋友发来一道数学题（见“原题呈现”）要我帮忙解决，我便画了一个图发给他，如图2，并在图下方写了“当O、E、C共线时，OC最大”.我本以为就此完事，不料，为把解法中的“理”说通，竟花去了1个小时.现将部分对话记录如下：

朋友：为什么这个位置最大？怎样证明这三点共线时，OC就最大？

朋友：E换成点D不也有这种关系吗？为什么就要取中点E?

笔者：因为AB在滑动时，OE是定值，OD是在变的.

朋友：这个我懂，但解释不了为什么E与O、C共线时，OC最大.

笔者：关键有两点：（1）找到运动中的不变量；（2）提取数学模型.

朋友：你的解释很抽象啊！我就觉得，用你的理由解决这个问题不够严谨.没有哪个定理或结论能直接用来解释这个的吧？

笔者：我猜你的困惑在于为什么选择OE而不选择OD去解决？

朋友：我就是这个问题，怎么解释当E在OC上时就达到最大，不要说OE是定值.

笔者：选择点E还是选择D与定理无关，这是一个解题策略问题，就好比选参照物.为什么不选D点，是因为OD在变，选择这个变量对解题无用，所以我不选.那么，为什么选OE就可以呢，一方面它是定值，恰好CE也是定值（三个量中有两个定值），另一方面OE、CE、OC刚好在一个三角形中，所以这个方法有可行性，然后找理论依据去证明.

朋友：懂了，还是策略问题，这是初中对付这种动态问题的一种策略.

我的这位朋友原先在初中教书，我本以为添几条辅助线，画个图就可以了，没想到的是他不上讲台讲课了，把初中的一些知识和解题经验忘得差不多了.朋友的困惑在于为什么是AB的中点而不是其他的点与O、C共线时求得最大值.我骤然想起，我们的学生是否也会有类似的困惑，随即反思教学中是否存在这样的一些现象：（1）讲题时凭教师自己的认知水平和解题经验讲，与学生的认知和经验不能平等对接，出现学生似懂非懂、不懂装懂的现象；（2）没有讲清楚这个问题中选择点E的合理性，这类问题选中点解决是否都可行；（3）没有讲清楚问题的本质特征、类似问题的区别，没有着眼于通性通法，导致学生出现方法的负迁移.这些现象正是导致学生“做过的题会做，没做过的题不会做”的根本原因.

二、思问题解决之源

原题呈现 如图1，射线OM⊥ON，△ABC中，AB=AC=10，CD⊥AB于D，且CD=8，若△ABC的顶点A与B各自在射线OM、ON上滑动（△ABC的形状、大小不变），则点C到O的距离最大值为（ ）.

图1

图2

图3

图4

分析：取AB的中点E，因为∠AOB=90°，AB=10，所以OE=5，因为AC=10，CD⊥AB于D，CD=8，所以AD=6，BD=4，DE=1，所以CE=，结合OE、CE、OC所构成的三角形的三边关系，可得OC的最大值=OE+CE=5+

这个解法的关键是抓住了运动中的不变量OE、CE，当AB在运动时，OE、CE、OC这三者处于同一个三角形中，且存在一定的数量关系，通过研究它们的位置关系和数量关系求出最大值.

那么，为什么就要找AB的中点呢？尤其对于解题经验不丰富的学生来说，会不会显得有点突兀？任何解法的产生都有它的缘由，而不是凭空出现的，有的是因为经验使然，有的是经过探索偶然发现的.解题的途径可能有多种，但是，解题过程中所经历的思考过程可能是相似的，波利亚在《怎样解题》一书中指出，解题时要充分分析已知条件，拟定计划，实施计划，最后找到解题的思路.他的解题四步骤具有普适性，我们可以参照他的方法进行思路起源的分析.

事实上，我们通过分析已知条件，从不同的角度可以得到一些有价值的结论：（1）△AOB是直角三角形，所以去联系直角三角形相关的性质（斜边中线性质），当AB在滑动时，OE的大小不变，如图2；（2）注意到∠AOB=90°，所以想到以AB为直径的圆，当AB在滑动时，这个圆的大小不变，如图3；（3）由OE的大小不变，想到E的运动轨迹是一个圆，如图4.从解题经验来看：（1）中点往往是解题的关键点，尤其当遇到直角三角形或等腰三角形时，自然地联想到与中点相关的定理；（2）两点间的距离最小值问题有关的数学模型有“两点间线段最短”、“垂线段最短”、“曲柄连杆模型”等.然后，通过把从已知分析得到的结论与经验积累的解题策略相联系，逐步消除与目标问题的差距，就能找到解题的途经.图2、图3、图4中的方法都可以归纳为利用“曲柄连杆模型”进行解释.“曲柄连杆模型”如图5～7，图5为曲柄连杆实物图.如图6，当N位于OM上时，OM最大；如图7，当O位于MN上时，OM最小.这个模型的特征是“曲柄”中的两条线段ON和MN是定长的，其中ON绕点O旋转.

图5

图6

图7

所以，选择AB的中点去解决这个问题是基于图形本身的特征和性质，结合相关数学模型，经过尝试性探究后，得到的一种可行的方法.那么，这是一种通法吗？对于这类题来说，不是.

三、谋解决问题之法

笔者初步了解，这类题在中考中最早出现在2012年济南市中考数学试题中，如例1，以后各地对此问题进行变式，如例2、例3.例2与例1在条件结构上极其相似，解法上具有通性（找AB的中点），学生利用例1获得的解题经验便能很快地解决；倘若例3中仍找AB的中点可能就解释不通了，尽管当OC最大时，O、E（AB的中点）、C共线，但是其原理与例1是不一样的.

例1 如图8，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）.

解：略.

图8

图9

例2 如图9，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为（ ）.

解：此略.

例3 如图10，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动，点B在∠xOy的平分线上移动，则点C到原点的最大距离是（ ）.

图10

图11

图12

分析：如图10，若取AB的中点E，当AB在滑动时，OE的长度在变，OC≤OE+CE=OE+，只有当OE最大时，OC才能达到最大，但当E落在OC上时，从几何直观上看并不能确定此时的OE就是最大的.对比“曲柄连杆模型”的特征，我们应先找到“曲柄”中哪一条柄在旋转，即找出这个定圆，联系相关点O、A、B，确定△ABO的外接圆，如图11，P是圆心，因为∠APB=2∠AOB=90°，所以OP=PB=PA=，PC=1+，所以当AB在滑动时，圆P位置改变，大小不变，OP、PC就是“曲柄”中的两条“柄”，问题便可解决.

解决这类题的关键是找到“曲柄连杆模型”中的两条“柄”.进一步变式，如图12，将例3中的△ABC改为普通三角形，其分析的原理是一样的.我们注意到，当OC最大时，OC并不经过AB的中点.

那么，为什么例1例2中当O、E（AB的中点）、C共线时能得到OC最大值呢？这是因为∠AOB=90°，△ABO的外接圆圆心恰好是点E，这是一个特例.所以，仅仅告诉学生取中点，并没有从问题根源来思考，容易被学生误解成只要取中点就能解决问题，导致方法的负迁移.在教学中，应该抓住问题的本质，先进行一般性方法的探究，掌握通性通法后，再去关注特例，这样有利于学生良好思维的养成，解决问题能力的培养.

四、反思

中点往往是一类问题解决的突破口，利用中点有关的性质去探寻解决问题思路是值得尝试的方法，但是，利用中点不是生硬的套用，而是从图形特征出发，充分分析已知条件后自然产生的知识应用.如在上述问题中，取AB的中点仅在特殊情况下可行，但并不是解决这类问题的通法.教学中，要把隐含在特例背后的依据讲清楚，才不会使学生产生错觉，才能知一题会一类.

数学解题能力的养成离不开经验的积累，经验中既有学习方法方面的，也有解题技巧方面的，教学中不能过分强调技巧，否则会固化学生思维，被经验所左右，在遇到新问题时，可能会因为“技”不对题，想不到技巧而一筹莫展.在解题教学中，使学生逐步养成从基本概念、基本原理及其联系出发思考和解决问题的习惯，这是发展学生思维的正道.所以，教会学生分析问题，重视解决问题的通法才是培养能力之根本.