一道不等式组例题的变式探究

☉湖北省武汉经济技术开发区武汉外国语学校 胡春洪

一、原题呈现

人教版七年级数学下册第9.3节一元一次不等式组有这样一道例题：当x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3（x-1）与x-1≤7-x都成立？

二、变式探究

下面我们引入“参数”，从特殊到一般，对原例题进行“变式”，将一些常见的含参不等式组整数解问题“串联”起来.变式1：若关于x的不等式5x-a＞3（x-1）与x-1≤7-x的解集中，相同的整数解恰好是7个，求a的取值范围.

图1

评注：变式1其实就是将原例题中不等式5x+2＞3（x-1）中的“2”换成-a，并将例题的结论“7个整数解”作为条件，求a的取值范围.借助原例题，可以部分地“验证”一下a的取值范围是否求对了.当-a=2，即a=-2时，两不等式相同的整数解恰是7个显然成立.而事实上，a=-2也确实在-3≤a＜-1的范围内，所以可以初步判断所求取值范围的合理性.教学中引导学生验证，既是让学生感受特殊与一般的辩证关系，同时也是在潜移默化中培养学生的“数感”.

图2

评注：变式2比变式1更进一步，两个不等式都含参数m，从而不等式组的解集是用含m的式子表示的，乍一看似乎无从下手.解决问题的关键是发现必有整数解0，进而确定其他6个整数解，从而将问题归结为变式1的情形.需要注意的是“临界状态”，-m不能取-3，否则2m=6，原不等式组解集为-3＜x≤6，共有9个整数解；2m不能取4，否则-m=-2，原不等式组解集为-2＜x≤4，共有6个整数解.

解析：由变式2可知，原不等式组恰好有7个整数解时，2＜m＜.所以当原不等式组至少有7个整数解时，m＞2.故m的最小整数值是3.

评注：借助数轴分析可知，原不等式组至少有7个整数解，则至少包含-2，-1，0，1，2，3，4这7个整数解，所以解得m＞2.同样注意这里2m不能等于4，否则解集为-2＜x≤4，共有6个整数解.

分别令m=1，2，3，…，2m=1，2，3，…，分段讨论可得原不等式组的整数解与m的取值范围的对应情况如表1.

由表1可知，原不等式组至少有7个整数解时，m＞2.还可以看出，原不等式组有解，且至多有7个整数解时，m的取值范围是0＜m＜2.5.

因为原不等式组的整数解的和是7，而3+4=7，-2+（-1）+0+1+2+3+4=7，所以，整数解是3，4或-2，-1，0，1，2，3，4.

综上所述，a的取值范围是7≤a＜9或-3≤a＜-1.

评注：变式4条件是整数解的和是7，而最大的整数解是4，很容易只想到整数解为3和4，而漏掉另一情形.所以碰到“和”的条件时，需考虑是否有正负抵消的情形.深层次反思一下，是因为本题中4-的值不确定，所以不含左端点，长为4-的线段盖住的整数点的个数不确定，并且将7写成连续整数的和的形式不唯一，从而出现分类.

表1

评注：比较变式5与变式4，变式5的解集两端都含参数a，因此无法象变式4那样可以确定最大整数解，但巧妙的是，变式5中隐含两端的距离是2，从而不需像变式4那样要分两类讨论.若将不等式组中第二个不等式中的等号去掉，即不等式组改为则相当于长度为2，不含左、右端点的线段盖住整点的问题.而此时可以盖住1个整点，也可以盖住两个整点，即整数解可能是3，4，也可能只有7，从而6，解得7＜a＜9或a=15.

如图3，当相同的整数解是3，4时，2＜m-2≤3，解得4＜m≤5；

图3

如图4，当相同的整数解是-2，-1时，-1＜m+2≤0，解得-3＜m≤-2.

故m的取值范围是4＜m≤5或-3＜m≤-2.

图4

三、感悟反思

综观变式1到变式6，可以看出，解决含参不等式组的整数解问题，很关键的一步是确定整数解是什么，再据此列式确定取值范围.一般步骤为：解不等式组→定整数解→数轴表示→列式求解.列式时需注意临界状态，从而决定不等式是否带等号.

课本上的例、习题，虽然难度不大，却有很强的“再生”功能.在日常的课堂教学中，教师引导学生对课本典型的例、习题进行变式研究，挖掘题目的广度和深度，往往能起到事半功倍的教学效果，能让学生跳出题海，避开重复无效的训练.目前在课堂变式教学中，对几何图形进行变式研究的居多，而对代数问题进行变式研究的少.其实，代数问题一般化，引入参数，即可实现变静态问题为动态问题.在解决问题时往往需要分类讨论，数形结合，转化化归等.

通过一题多变，不仅使涉及的知识与方法处在动态的发展过程中，而且学生的思维活动将在不同的方向和层次上展开.学生可以体会由特殊到一般的探究方法，感受由静到动，由浅入深，螺旋式上升的变化过程.在分析、比较、化归、探究的过程中激活和绽放思维，有效提升解决问题的能力，与此同时数学素养也在探究中潜滋暗长.