条分缕析，层层递进，渐入佳境——新定义型阅读理解试题的教学实践与思考

☉重庆市大渡口区教师进修学校 廖帝学

☉重庆市第九十五中学校 李 敏

一、背景

试题 （2017年重庆市中考数学第25题）对任意一个三位数n=xyz，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）.例如，n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6.

（1）计算：F（243），F（617）；

（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值.

自2015年来，重庆市中考数学试题中已经连续三年出现与上述试题类似的新定义型阅读理解试题.与其他各地的新定义型阅读理解题不同的是，重庆中考数学阅读理解试题坚持把考点指向“整数”.结合背景材料，学生需借助代数式、方程、不等式、函数等相关知识进行“找数，性质研究”等解题活动.

这类试题的材料都是以“新定义”的形式呈现，语言表述风格与学生们平常见的教材的语言表述风格明显不同，文字数量多，新定义的符号不常见，十分新颖.而且，它还是一道综合性较强的代数类题目，解答时常常要进行比较复杂的代数式运算、不等式分析、分类讨论.这类题以能力立意，考查了学生数学素养和数学应用能力，对考生的“阅读”、“理解”、“推理”、“解答”都存在着巨大的挑战.同时，也给后继的教学带来一定的困难.

怎样教学生“阅读”？怎样教学生“理解”？怎样教学生“解答”？带着这样的一些问题，我们以这类试题中常见的与整除有关的试题为例进行了一个课时的教学实践与探索.

二、教学实践

1.准备——寻找依据

从教材和教学来看，“整除”在初中三年的学习过程中并不多见，当然应用得也少.所以在本节课的第一个环节里，教师结合后继教学给出了3道练习题：

题1 已知一个三位整数P=abc，百位上数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，则这个三位整数可以表示成______.

题2 整除：若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除（或说b能整除a）.例如：A能被37整除，A与37之间的关系表示为______或______.

题3 当1≤x≤9时，且x为整数，设m=3x+5，则m的取值范围是______.当m能被11整除时，x=______.

题1旨在让学生知道怎样用一个代数式表示一个整数.一个三位整数，百位上数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，则这个三位整数可以表示成100a+10b+c.

题2是为让学生在整除的条件下会用代数式表示两个数的关系，A被37整除，也就是=k（k为整数）或A=37k.

题3是为了引导学生从不等式的角度去看数的取值范围，寻找满足条件的数.当1≤x≤9且x为整数时，设m=3x+5，则m的取值范围是8≤m≤32.解答时可以直接利用不等式的基本性质.也可以根据题意得≤9，进而求出m的取值范围.当8≤m≤32时，能被11整除的数有11、22，但由于x为整数，所以x=2.这样设计目的在于提醒学生在解题时注意解的合理性，培养学生思维的严密性.

2.初读——明白定义

要解决新定义型阅读理解题，首先必须理解“新定义”，“新定义”规定了什么“新规则”，介绍了什么“新操作”，界定了什么“新运算”，阅读之初，一定要着力把它弄清楚.

在这个教学环节里，教师用PPT展示下面一段文字材料让学生自行阅读：

若一个三位整数m=xyz（x，y，z为整数，且1≤x≤9，0≤y≤9，0≤z≤9）满足y=2x－z，则称m为“极美数”.如m=111，满足2×1－1=1，则称111为“极美数”.

阅读之后，教师为了检验学生对新定义“极美数”的理解，设计了两个教学活动：

（1）请一位同学任意说出一个三位整数，然后请其他同学来判断它是否是“极美数”；

（2）随意抽一位同学举例说出一个“极美数”.

通过这两个有激励性的活动，让学生很快抓住这段阅读材料的关键点：y=2x－z，比较深刻地理解了“新定义”.

3.再读——明理列式

接下来，教师用PPT展示了下面一段材料供学生“再读”：

已知一个“极美数”m，交换“极美数”m的百位数字与十位数字得到新数n=yxz，则称n为m的“美极数”.如m=102满足2×1－2=0，则m为“极美数”，交换其百位数字和十位数字得到的新数n=12，则称12为102的“美极数”.

待学生阅读后，教师提出问题：请说明任何一个“极美数”的“美极数”都能被3整除.

在我国，创新能力研究大多以企业为主体，高校创新能力研究还比较薄弱。以“高校创新能力”为关键词在中国知网检索后发现，2010年后发表在中文核心期刊上的学术论文仅有21 篇，其研究主要从推动科研团队建设［1，2］和协同创新［3－5］两个视角来研究高校创新能力的提升机制。由文献可以看出:(1)现有研究已经意识到我国高校创新能力的重要性，但对于高校创新能力的内涵界定还没有形成共识;(2)现有研究或以某个高校为例进行案例分析，或以整个高校体系为研究对象进行问题分析，极少关注区域性高校的创新能力研究;(3)现有研究多是从理论上探讨高校创新能力的影响作用，缺少数据驱动的实证分析。

此环节教学实录如下：

师：读了这一段材料，你勾画出的关键词是什么？

生：交换百位数字和十位数字的位置.

师：你能说明任何一个极美数的美极数能被3整除吗？请思考“任何”一个三位整数该怎么表示？“能被3整除”又该怎么表示？

几分钟后，教师随机抽一位同学在黑板上板书解答过程如下：

解：设“极美数”为100a+10b+c，则其“美极数为”100b+10a+c（1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），根据题意得

因为70a－33c为整数，

所以100b+10a+c能被3整除.

师：通过两段材料的学习，请大家小结一下，我们该如何解答有关整除的阅读理解题.

生2：遇到整除问题，我们可以将其转化为含此因数的乘积形式.

4.深读——变形求值

通过前面的“准备”、“初读”、“再读”，学生经历了“表示数”、“表示数之间的关系”、“整除问题”，已经初步感知了解决这类问题的方法，教学逐步推进，教师用PPT展示了下面具有挑战性的问题：

已知一个三位整数P=abc（其中a，b，c为整数，且1≤a≤5，0≤c≤5）是“极美数”，Q是P的“美极数”，若P的两倍与Q的差能被13整除，求P的值.

解：由题可知，

又因为b=2a-c，

所以2P-Q=30a+81c.

因为1≤a≤5，0≤c≤5，

所以4≤4a+3c≤35.

又因为2P-Q能被13整除，

所以4a+3c=13或26.

综上可知，P=582.

最后，教师对此题进行总结：这类题目可以先分离出能整除的部分，再研究余式部分是否能被整除.

三、教学思考

1.条分缕析加深阅读理解

勿庸讳言，初中数学教学中的“阅读理解”有别于其他学科（特别是文科）的阅读理解.由于数学问题的逻辑严谨性，这里“阅读”的目标更多的是为了“理解”：理解问题中每一个句子，每个图表，每一个符号，每一个关系式……并且还要不断地进行语句分析和语义转换，把一些“新情境”、“新问题”和自己已有的、熟悉的知识发生联系，不断转化，直到问题解决.

作为一种以考查“阅读理解能力”为目的的题型，阅读理解题对学生的阅读理解能力要求是非常高的.当然，对学生这种能力的培养不是一朝一夕的事情.“怎样读？怎样思考？”都需要我们在平时的教学中“教”.本节课中教师着眼于让学生“初读”、“再读”、“深读”，读的时候要勾画关键词，讲的时候要不断地追问，引导学生逐句逐段地理解.这是在教给学生“读”的方法和“思”的方法.

2.层层推进促进思维发展

本节课的教学过程思路十分简洁清晰.

教学活动从“初读”到“再读”，再到“深读”，教学内容从“极美数”到“美极数”，再到探究“极美数”和“美极数”的关系，层层递进，这样的教学设计以思维为主线，突出策略性.

在教学过程中，教师引导学生“读”和“思”，对新材料进行分析，逐步推出了“请说明任何一个“极美数”的“美极数”都能被3整除”、“已知一个三位整数P=abc（其中a，b，c为整数，且1≤a≤5，0≤c≤5）是“极美数”，Q是P的“美极数”，若P的两倍与Q的差能被13整除，求P的值.”等问题供学生解答.课堂教学逐步推进，有效地让学生习得解决这类问题的策略，有力地促进了学生思维能力的发展.

3.大胆探索方能渐入佳境

阅读理解题特色鲜明，选材广泛，源于课本又高于课本，常常让人难以意料.新定义型阅读理解试题只是阅读理解题中的一种.本节课也仅仅就其中与整除有关的问题的教学作了一次实践和探索.虽然，将这类问题引入课堂后，教学方法、教学模式好象无章可循，但在教学中教师让学生学会思考、体验、表达仍是我们的教学的追求.“教无定法”，大胆探索方能渐入佳境.