“怎样解题表”四阶段解题的实践与思考——以2017年甘肃省张掖市中考数学卷第28题为例

☉甘肃省张掖市第三中学 李永明

怎样解题是学生必备的一种核心素养.所谓的“怎样解题表”就是“怎样解题”、“教师应教学生做些什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活动”，按照学生解决问题时思维的自然过程分为弄清问题、拟定计划、实现计划、反思回顾四个阶段，描绘出解题理论的一个总体轮廓.那么，在解题中教师应教学生做些什么？学生在解题过程中应思考些什么问题？如何达到举一反三的效果？如何把“解题中典型有用的智力活动”，按照四阶段的自然思维过程正确的展示出来呢？笔者以2017年甘肃省张掖市中考数学卷第28题为例，从教师如何教和学生如何做两个方面入手，认真分析解题过程中的解题思路，反馈解题的思维过程.现拙文呈现其思维过程，以期抛砖引玉，与同行交流.

一、解题的思维分析

原题（2017年甘肃省张掖市中考第28题）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+4的图像与x轴交于点B（-2，0），点C（8，0），与y轴交于点A.

（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；

（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系.

1.弄清问题

问题是数学的心脏.认真阅读题目后，教师应教学生做些什么？学生应思考些什么问题呢？首先，应该教会学生找出未知、已知条件是什么？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？学生应该画张图，引入适当的符号，把条件的各个部分分开，并把它们写下来.

教师方面：认真阅读分析已知条件：

抛物线y=ax2+bx+4的解析式；

图1

抛物线经过B（-2，0）；

抛物线经过点C（8，0）；

从抛物线y=ax2+bx+4的解析式可得A（0，4）.

未知有三问：

（1）第一问求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；

（2）第二问当△AMN面积最大时，求N点的坐标；

（3）第三问在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系.

图2

学生方面：如图2，这是已知条件与每一问的层次关系图，它是一个逐渐递近的求解顺序关系图.从这个关系图上我们可以清楚地知道，它们之间是由浅入深的、逐渐递进的关系，其求解关系也是逐渐递进的.

2.拟定计划

计划就是解题的思路.是一个寻根溯源，化繁为简的化归过程.如何实现这一过程呢？教师应教学生做些什么？学生应思考些什么问题呢？

教师方面：引导学生回忆是否在之前见过类似问题.

（1）第一问求二次函数y=ax2+bx+4的表达式，是一个常见的题型；

（2）第二问当△AMN面积最大时，求N点的坐标，最大值问题也见过；

（3）第三问在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系，这个要计算它们的长度，才能求出其数量关系.

学生方面：学生针对以上问题，要努力追忆在课本、资料出现过的类似题目，从大脑中提出与本例题有关的定义、公式、定理、类题等解题依据，把想到的与本题有关的信息都罗列出来，供下一步解题使用.

（1）第一问求二次函数的表达式，常用方法有待定系数法；

（2）第二问稍作改变，就是通过二次函数求最值问题.

（3）第三问在（2）的结论下，求OM与AC的长度，利用勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质很容易就会解决.

3.实现计划

实现也就是解题，解题就是解决问题，即求出问题的解.这一过程主要是学生如何能正确的写出求解过程，并能检验每一个步骤.教师要引导学生能够确认自己写出的每一步都是正确的.

解：（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4，

（2）设点N的坐标为（n，0）（-2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8-n.

因为B（-2，0），C（8，0），所以BC=10.

令x=0，解得y=4，所以点A（0，4），OA=4.

所以当n=3时，即N（3，0）时，△AMN面积最大.

（3）当N（3，0）时，N为BC的中点，

4.反思回顾

反思回顾的过程主要是验证.验证也就是验算所得到的解，是对解题过程的反思.既充分展示了思维的严谨性，又深入剖析解题思维过程的正确性，还从中感悟回顾反思“思什么、怎么思”的问题.

教师方面：教师如何引导学生去验证每一个结果？能否用别的方法导出每一问的结果？

（1）求出二次函数的解析式后，教师可以引导学生把A、B、C三点的坐标代入解析式，如果满足解析式，那么说明结果正确，反之错误.

（2）第（2）问还可用以下方法来解：如图1，设MN=x，由上题可计算出，tan∠ABC==2.又因为tan∠ABC=，S△AMN的面积最大.也就是MN是△ABC的中位线.

学生方面：学生能否一下子看出结果来？并检验这个论证？或是把这结果和方法用在其他的问题？

如果知道当S△AMN的面积最大时MN是△ABC的中位线，那么学生就很容易求出点N的坐标.第（3）问通过观察，也可以得出结论.

二、解题过程的思考

追求解题过程的简单、思维过程的严谨高效，是数学教师的一个共同性格.如何达到这一效果呢？我们可以通过对解题过程的改进和分析，举一反三，使解题能力大幅提升，解答的理解水平更加深刻，思维链更加优化.那么，教师和学生如何对一道题进行改进呢？一般地，解题过程通常要经历两个阶段并进行四个方面的分析.

1.两个阶段：整体分解与信息交合

整体分解就是把原解法的全过程分拆为一些信息单元，看用了哪些知识和方法，它们是怎样结合在一起的，并从中提炼出几个最本质的步骤.

从上题中，把题目分拆成三类题型，第（1）问用待定系数法求解析式，第（2）问求三角形的最值，第（3）问利用勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质求线段的长.

信息交合就是抓住整体分解中提炼出来的本质步骤，将信息单元转换或重组成新的信息块，这些信息块的有序化将删去多余的思维回路，用更一般的原理去代替一些过程，通过一个简单的技巧代替现有的常规步骤，如此，一个新的解法便诞生了.

第（1）问求二次函数y=ax2+bx+4的表达式，已知系数c=4，a、b未知，已知两点B（-2，0），点C（8，0）的坐标，条件充分，一般方法有待定系数法，但由上面分析可知，抛物线与坐标轴的三个交点坐标都已知，也可用特殊的交点式来求函数表达式，设二次函数的表达式y=a（x+2）（x-8），把A（0，4）的坐标代入上式，得a=-.

第（2）问当△AMN面积最大时，求N点的坐标，如果做DN⊥AC，垂足为D，如图3，则题目就转化为直角三角形中矩形的最大值问题，也就是当点N运动到线段BC的中点时，矩形AMND的面积最大，即△AMN面积也最大，这样就很容易求出点N的坐标.

图3

图4

2.四个方面的分析

（1）看解题过程是否浪费了更重要的信息，以开辟新的解题通道.本题的难点在第（2）问，我们可由第（1）问求各点的坐标和线段的长，由勾股定理的逆定理发现，△ABC是直角三角形，这样又为解决第（2）提供了新的信息.

（2）删去多余步骤，使解题过程简洁又不失重点.如果第（2）中直接去求矩形AMND的最大面积，不去直接求点N的坐标，这时候的思路将无暇顾及更多的解题细节，也来不及选择更合适的方法，当把抛物线等多余的线条删除以后，如图4，思路就打通了，求出最大面积，点N的位置就可确定，题型也就变的简单，思路也更加清晰明了.

（3）看是否可以用更一般的原理去代替一些步骤，提高整个解题的观点和思维层次.第（1）问求二次函数的解析式，用的方法是待定系数法，这是通用方法，但是根据题意，我们也可以应用特殊的技巧来重新设抛物线的解析式为交点式和顶点式来解，这为我们寻找优美解提供了重要的保证.

（4）看是否可以用一个更特殊的技巧代替现有的常规步骤，以体现解题的奇异美.第（2）问可以把△ABC和△AMN分离出来并进行补充，问题就转化成为直角三角形内矩形的最大面积问题，这是课本中二次函数最典型的题型.

三、结束语

总之，解题就是实验、猜想、类比、联想、归纳、演绎、分析、综合等方法的综合应用过程，更是把复杂的题型简单化、陌生的题型熟悉化、常见的题型模式化的一个改编过程，是按“问题、计划、实现、验证”的自然思维过程.通过对已知和结论不断地去寻根溯源，分析它们的联系，才能找到一个简洁高效的解题方法.