多角度构建思路，多途径探究函数——以一道反比例函数综合题为例

☉江苏省苏州工业园区星澄学校 吕 琴

一、试题呈现，解题分析

1.试题呈现

已知一次函数y=x－2，设其与y轴的交点为点A，与反比例函数y=在第一象限内的交点为点B，B点的坐标为（m，2），如图1所示.

图1

（1）试求反比例函数的解析式；

（2）将一次函数的图像向上平移几个单位长度，与反比例函数图像相交于点C，若组成的三角形ABC的面积为18，试求平移长度n的值.

2.解题分析

试题的第（1）问是较为简单的基础题，点B为两函数的交点，则点B的坐标必然分别满足两函数的解析式，可以采用“一次函数解析式→点坐标→反比例函数解析式”的解题思路，即首先根据一次函数解析式来确定点B的坐标值，再将点B的坐标代入反比例函数解析式，则可以确定k的值，实现求解，解得的解析式为y=

对于试题的第（2）问，由于条件简单，存在一定的难度，需要对题目中的条件进行转化.已知的关键条件是△ABC的面积为18，求一次函数图像的平移距离，实际上就是求其解析式，确定点C的纵坐标.求解过程需要建立起三角形面积与点坐标之间的关系，则需要利用面积公式，将面积值转化为平面内点的具体坐标，需要用到数学上的构造和转化思想，下面进行思路探究.

二、思路构建，多解探究

针对本题目的第（2）小问进行思路构建，探究多解途径，下面将从三角形不同构建方式的角度进行探讨，并对解法进行相应的评析.

思路1.构建图形的面积和差

通过观察可知△ABC是一般的三角形，如果直接利用三角形底和高求面积的方式很难求解，可以考虑构建特殊图形，通过几个特殊图形之间的面积加减来表示△ABC的面积，进而确定直线的平移单位长度.可以首先过点C作y轴的垂线，设垂足为点D，再过点B作y轴的垂线，设垂足为点E，如图2所示.由图像可知，△ABC的面积就等于梯形BCDE的面积加上△ABE的面积再减去△ACD的面积，即S△ABC=S梯形BCDE+S△ABE－S△ACD，设出点C的坐标，分别求出规则图形的面积，即可建立面积与点坐标的关系，就可求出直线的平移长度.

图2

根据上述构建思路，设一次函数平移后的解析式为y=x+b，点C的坐标为（a，a+b），则S（DC+EB）·DE·EB·AE，·CD·AD，其中DC=a，EB=4，DE=a+b-2，AE=4，AD=2+a+b，则×（a+4）×（a+b-2）+×4×4-×a×（2+a+b）=18，解得b=7，则一次函数平移后的解析式为y=x+7，平移长度n=7+2=9.

评析：初中阶段对于一般图形的处理就是通过分割、补充的方式构建特殊的基本图形，将不规则的图形转化为几个特殊图形的拼接图形，此解法尤其在求解一般图形的面积时更为实用.上述求解思路实际上就是建立面与点、线之间的关系，这三个元素之间是依靠点的坐标来进行衔接的，是构造思想的应用.

思路2.构建公共底的面积之和△ABC为一般三角形，同样采用转化为特殊图形的方式，考虑到具有共同底的两个三角形在求解面积时较为简捷，即可以直接表示为底与两个三角形的高之和的乘积，可以将△ABC化为具有共同底的两个规则三角形.过点C作y轴的平行线，使其与线段AB交于点E，如图3所示，则△ABC的面积就等于△ACE的面积与△BCE的面积之和，即S△ABC=S△AEC+S△BEC，且两三角形具有公共边CE，可以作为公共底来求面积.求解时只需设出点C和点E的坐标，表示出公共底的两三角形面积，就可建立面积与点坐标之间的关系，实现求解.

图3

根据上述构建思路，由于点C和点E分别位于反比例函数、一次函数上，故满足对应的解析式，分别设其坐标，C（a，），E（a，a-2），S=S+S，则S=·△ABC△AEC△BEC△AECCE·+·CE·h2=1 2·CE·xB，即=18，解得a=1或a=-8，由于点C位于第一象限，则a=1，平移后的直线解析式为y=x+7，平移长度n=7+2=9.

评析：上述在对一般三角形进行分割处理时，考虑到同底三角形面积计算的便捷性，将其分割为两个具有公共边的三角形，则直接构建了三角形面积与点坐标之间的关系，该思路是三角形分割转化的常用思路，在中学的解析几何中应用较多，可以极大地精化解题步骤.

思路3.利用等面积转化三角形题目给出了△ABC面积的值，但由于三角形较为一般，其边长没有位于坐标轴上，难以直接利用面积公式求解.考虑到求解过程只与三角形的面积大小相关，而与三角形的其他性质无关，因此对三角形进行等面积转化并不会影响最终的结果，故可以构建一个存在一边位于坐标轴上的等面积三角形.由于一次函数图像进行了平移，设平移后的一次函数与y轴的交点为点D，则有CD∥AB，可以根据同底等高构建等面积三角形，连接BD，如图4，则△ABC和△ABD具有相同的底AB，且底上的高相等，即面积相等，表示△ABC的面积就可以通过构建△ABD的面积来实现.

根据上述构建思路可知S△ABC=S△ABD=18，过点B作y轴的垂线，垂足为点E，则BE就是△ABD底AD上的高，即S·AD·BE，其中BE=4.设点D（0，a），则AD=a+2，有×4×（a+2）=18，解得a=7，即D（0，7），平移后的一次函数解析式为y=x+7，所以一次函数向上平移的长度n=7+2=9.

图4

评析：该思路的依据是等面积转化，通过构建新三角形使得面积关系建立变得极为容易.需要注意的是由于该构建思想基于的仅仅是面积相等，忽略了三角形的其他性质，因此这样的构建方式只能研究三角形的面积问题，切不可将其用于性质研究.

思路4.利用平行四边形的基本性质

在直角坐标系中存在两条互相平行的直线，即平移前后的一次函数图像.而需要研究的△ABC的一边AB位于原直线上，可以考虑依托两条直线和坐标y轴来构建一个平行四边形，设平移后的一次函数图像与y轴的交点为点N，过点B作BM∥AN，与平移后直线的交点为M，如图5，结合平移性质可知，MN∥AB，则四边形ABMN为平行四边形，分析可知其面积应为△ABC面积的两倍，则可以通过建立与平行四边形ABMN的面积关系来求解.

根据上述构建的思路，过点B作y轴的垂线，垂足为点E，可知，S四边形ABMN=2S△ABC，而S四边形ABMN=AN·BE，设点N（0，a），则AN=2+a，从而有4×（a+2）=36，解得a=7，后续求解同上.

评析：该解法思路是构建一个面积较为特殊的平行四边形，然后研究其与三角形的面积关系，涉及到了平行四边形的性质，与等面积转化相比，都是建立了新图形与原三角形的面积关系，所不同的是，平行四边形性质的加入，使得分析过程更为清晰.

图5

三、解后反思，教学思考

1.回归教材内容，强化基础知识

本题目详细讲解了解函数题的四种构建思路，综合来看，思路为：首先构建三角形面积与坐标值之间的关系，确定关键点的坐标，然后求解直线平移后的解析式，最后确定直线向上的平移量.可以说综合题实际上就是各个小问题的有机结合，解题过程就是逐个破解小问题.解题时涉及到的内容包括：一次函数与反比例函数的交点确定、函数解析式的求解、三角形和四边形的面积计算以及相关图形的基本性质等.因此，在数学的学习中需要教师引导学生回归教材基础，充分掌握数学的基础内容，使学生达到理解、掌握、活用知识的境界.

2.挖掘问题本质，学习基础方法

虽然上述的解题思路有所不同，但都是向着一个方向进行的构建转化，即建立图形面积与坐标之间的关系，利用待定系数法求解，这是求解的本质，其中涉及到的构建转化方法都是为了建立起条件与问题之间的联系.需要指出的是求解的核心就是面积法和待定系数法，所有的解法都是在上述两种方法基础上开展的.因此，在学习解题时，除了需要把握问题本质外，还需要对基础方法进行深入学习，理解方法的精髓，掌握方法的变形方式，灵活变形，合理选取.

3.学习数学思想，提升思维能力

本题的四种解法涉及到了数形结合、构造转化、方程思想等.数形结合的方式使得问题的分析更为准确、具体；而基于构造转化思想开展的思路探究，使得解题过程更具有创造性、多样性和灵活性；最后的方程思想是指导数学关系建立的核心思想，是整个解题框架构建的基础.整个解题的分析过程都渗透着多种数学思想方法，充分体现了思想方法解题的优越性，学习和使用思想方法，不仅可以提升学生的解题能力，更重要的是在这个过程中能促进学生数学思维的发展，培养学生思维的灵活性、创造性和广阔性，而后者对于学生思维品质的养成起着至关重要的作用.

四、写在最后

函数综合题的解法有很多，虽解题思路构建不同，但都是对问题的一种恒等的转化变形，都是为了将问题转化为较为直观、具体的形式，是构建转化思想解题应用的充分体现.在探索问题的解法时要立足问题的条件与结论，通过构建两者的联系来获得解题的思路，不应拘于固定的形式，要大胆猜想，合理求证，结合感性认识与理性思维为一体，实现问题的高效求解.