细品读 善联想 巧破解——对一类“定义特殊四边形”求边长的试题探析

☉浙江省绍兴市柯桥区平水镇中学 沈岳夫

众所周知，四边形是初中数学中的重要内容，而教材中主要研究的特殊四边形有平行四边形、矩形、菱形、正方形.为了体现试题的公平性，也为了提高试题的效度和区分度，命题者巧妙地采用新定义特殊四边形的形式呈现，而这类试题往往是以“给出定义→探究性质→实际应用”的形式呈现，要求学生内化约定的几何定义，提取关键信息，利用定义的核心探究几何的性质，最后应用性质实现问题的解答.本文特遴选3道有关“定义特殊四边形”求边长的中考试题，供大家赏析.

一、从边、角的视角定义特殊四边形

例1（2017年浙江·绍兴卷）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫作等腰直角四边形.

（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°.

①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长；

②若AC⊥BD，求证：AD=CD.

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD、BC于点E、F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长.

图1

图2

思路剖析：（1）①根据题意，只要证明四边形ABCD是正方形，即可求得BD=.

②连接AC、BD，只要证明△ABD≌△CBD，那么AD=CD成立.

（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件.

若EF与BC不垂直，

①当AE=AB时，如图3，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，则AE=AB=5.

②当BF=AB时，如图4，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，则BF=AB=5.因为DE∥BF，可得DE∶BF=PD∶PB=1∶2，解得DE=2.5，所以AE=6.5.

综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5.

图3

图4

评注：此题从邻边及夹角的视角定义了“等腰直角四边形”，并引导学生经历“认识概念—研究性质—分类探析”数学探究性学习过程.此题考查学生将相似三角形的判定和性质与其他知识综合在一起解决问题的能力.第（1）问简单易入手.第（2）问梯度明显增大，需要学生真正理解、内化“等腰直角四边形”的定义，由于EF是经过点P的动直线，因此需要分类讨论、缜密思考，这正是命题者布设的“陷阱”，也是拉分之处.因此，本题具有较好的效度和区分度.

二、从对角线的视角定义特殊四边形

例2（2016年浙江·衢州卷）如图5，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形.

（1）概念理解：如图6，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问：四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由.

（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系.

猜想结论（要求用文字语言叙述）.

写出证明过程（画出图形，写出已知、求证）.

（3）问题解决：如图7，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE，已知AC=4，AB=5，求GE的长.

思路剖析：（1）连接AC、BD，利用垂直平分线判定即可证明AC⊥BD.

图5

图6

图7

（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等.

如图8，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E.求证：AD2+BC2=AB2+CD2.

证明：利用勾股定理即可证明AD2+BC2=AB2+CD2成立.

图8

图9

（3）如果考生不领会命题者的意图，撇开垂美四边形这条主线，忽视第（2）问的铺垫，那么就会偏离解题方向而进入歧途.如果考生能顺势而为，在图9中寻找哪四个点能构成垂美四边形，通过观察并猜想CE⊥BG，若能证明，就得到四边形CGEB是垂美四边形，再利用第（2）问的铺垫，就能求出GE的长.在图9中，连接CG、BE，可证△GAB≌△CAE（SAS），进而得∠ABG+∠AME=90°，所以CE⊥BG，即四边形CGEB是垂美四边形.由（2）得CG2+BE2=CB2+GE2.由题意可得BC=3，CG=4，BE=5，进而求得GE2=CG2+BE2-CB2=73，所以GE=.

评注：此题从对角线的视角定义了一个新概念“垂美四边形”，以这个新概念为背景层层深入，梯度合理.第（1）问，谓之“起”.问题的起源，通过简单的证明，加深对概念特征的理解.第（2）问，谓之“承”.承上启下，通过画图、求证，既加深对概念的认识，又为第（3）问的探究做了很好的铺垫.第（3）问，谓之“转”.峰回路转，问题考查的能力、基本思想和呈现方式都发生了很大变化.解决第（3）问的难点在于会识别“垂美四边形”，再结合第（2）问的铺垫逆向思考，进而计算解答.可见，第（3）问的设置是让学生自主探究，不断深入思考，从而提高学生分析问题、解决问题的能力，对学生思维能力的考查又上了一个台阶.

三、从一组对角的视角定义特殊四边形

例3（2014年浙江·嘉兴卷）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫作“等对角四边形”.

（1）已知：如图10，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°.求∠C、∠D的度数.

（2）在探究“等对角四边形”性质时：

①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图11），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立.请你证明此结论.

②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”.你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例.

（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，

∠ABC=90°，AB=5，AD=4.求对角线AC的长.

图10

图11

思路剖析：（1）利用“等对角四边形”这个概念进行直接计算.因为∠A≠∠C，所以∠D=∠B=80°，∠C=130°.

（2）①如图12，连接BD，容易证明CB=CD成立.

图12

图13

②不正确.举一个反例即可，如图13，∠A=∠C=90°，AB=AD，但CB≠CD.其实，只要借助辅助圆，构造有公共斜边的两个直角三角形，这些图形在平时很常见，关键是考试时能否迅速检索出积累的基本图形.

（3）解答此题，要深刻领悟“等对角四边形”的概念.

①如图14，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD、BC相交于点E，易得AE=10，进而求得DE=6，CD=2，所以AC==2.

②如图15，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.

图14

图15

评注：此题是从一组对角的视角给定一个新定义“等对角四边形”的探究型试题，通过一题多探，拾级而上，层层深入，为不同程度的学生展示自己的数学才华创设了探究平台.第（1）问通过计算等对角四边形的内角，使学生对等对角的概念加深了认识；第（2）问与第（1）问相比，虽然表象发生了变化，但本质不变，只要求学生对新概念有精准理解；第（3）问是本题的精华，命题者巧妙地把等对角四边形的概念隐藏在无图的叙述中，考查学生理解新知、运用新知的能力.此题汇集了三角形、勾股定理、四边形等知识，渗透了转化、分类讨论等数学思想，立意新颖.该题考查的角度多样，三个问题在难度上逐步加大，对学生知识迁移、信息阅读、自主探索和解决问题的能力都是一种挑战.这一系列探究在本质上就是“数学化”的过程，经历这些过程是学生获取“四能”的根本途径.

由以上几例可以看出，以四边形为背景的新定义型中考试题能较好地体现新课程标准的基本理念，注重培养学生的数学思考、数学能力和数学素养.同时，此类试题并不神秘，表面上是我们没有见过的问题，但只要理解了新定义并紧扣新定义，就将其转化为我们熟悉的几何问题.这类问题具有探究价值，对运用新知识解决问题的能力提出了较高的要求，具有良好的效度和区分度.这要求我们在平时学习中夯实“四基”，注重能力和数学思想方法的学习及应用意识的培养，以不变应万变.