挖掘课本习题价值 促进学生深度思考

☉湖北省武汉市汉阳区教育局教科中心 桂文通

人教版九年级数学教材（下册）第58页有如下一道习题，为方便我们称为引例.

引例 如图1，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？

本文想结合引例，就如何挖掘课题习题的价值，构建一类问题解决的基本模式，引导学生进行深度思考作一点探讨.

一、“出入相补”创新解法

我们可以运用下面两种方法解决引例：

方法1（常规解法）：设加工成的正方形为EFHG，边长为xmm，边GH在BC上，顶点E，F分别在AB，AC上，高线AD与EF相交于点K.

答：加工成的正方形零件的边长为48mm.

图1

图2

方法2（出入相补法）：将图1补成矩形BCNM，如图2，图中的面积关系有：S△ARE=S△AKE，S△ABD=S△ABM，S△OBE=S△GBE，

所以S矩形OMRE=S矩形EGDK.

同理：S矩形QNPF=S矩形KFHD.

于是S矩形OMRE+S矩形QNPF=S正方形EFHG.

设GE=EF=x，则MR+QN=120-x，OM=80-x，列方程得x2=（80-x）（120-x），解得x=48.

比较两种解法：方法1看似比方法2简捷，但两种方法的知识储备是不一样的，方法1需要运用相似三角形的判定与性质等知识；解法2的门槛要低得多，只需运用面积的计算即可.方法2给人一种意外的惊喜，让人感受到数学方法的朴实之美，能够激发学生学习的兴趣，感受学习数学的乐趣.其实方法2运用了中国古代数学中“出入相补原理”，吴文俊院士在《出入相补原理》一文中指出：“一个平面图形从一处移置他处，面积不变.又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系.”

借鉴古人的思想方法来解决数学问题，能够拓宽学生的视野，培养发散思维，让学生感受数学思想方法的力量，从而启迪智慧增强信心，也能体现数学的文化意义.

二、“以退为进”探求作法

如果此题中的正方形没有画出，我们是否可以借用尺规画出呢？

要求作一个正方形，使它的四个顶点在△ABC的三条边上.可以如下思考：“只保留条件的一部分，而丢掉其他部分.”（波利亚语）很显然画出一个有两个顶点在△ABC边上的正方形很容易，画三个顶点在△ABC边上的正方形也可以.

于是我们可以尝试画出有三个顶点在△ABC边上的正方形，如图3，4，5.

图3

图4

图5

图6

从图3，4，5中，我们可以观察并猜想到这些正方形的第四个顶点排列规律：在同一条直线上.为了使第四个顶点在△ABC的边上，我们用图6，作法如下：

（1）作正方形MNPQ，使它的顶点M，N，P在边AB和BC上.

（2）作射线BQ交边AC于点F.

（3）过点F分别作EF∥BC交AB于点E，作FH⊥BC，垂足为点H，过点E作EG⊥BC，垂足为点G.

由作法知四边EFHG是矩形，而在图6中，由EF∥MQ，FH∥PQ，得.又因为MQ=PQ，得EF=FH.所以矩形EFHG是正方形.

其实，上面的作法采取了位似变换作图法.通过作图尝试，让学生观察出第四个顶点的轨迹，体现了“探索是数学的生命线”教学策略；通过弱化条件，可以向学生渗透“以退为进”的数学思想.数学家华罗庚对“以退为进”的数学思想解释为：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍.”

三、横向变式构建模式

例1 如果原题中所要加工的零件只是一个矩形EFHG，如图7，此矩形零件的两条边长不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

分析与解：设EF=xmm，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，并用x表示出EG，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．

图7

所以S的最大值为2400mm2，此时EF=60mm，EG=40mm．

价值分析：本题突出了相似三角形性质的应用，通过面积与有关线段的关系，建立二次函数模型，再利用配方法求出二次函数的最值．从问题的解决中，我们可以提炼一个重要结论：当EF是△ABC的中位线时，矩形EFHG的面积最大.

应用1 （盐城中考题）（1）如图8，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为______ .

图8

图9

（2）如图9，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，求矩形PQMN面积的最大值为______（用含a，h的代数式表示）.

（3）如图10，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

图10

图11

（4）如图11，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．

分析与解：（1）、（2）就是例2结论的一般化，答案分别为：-.

（3）将图10补成图8的形式，如图12，延长BA，DE交于点F，延长BC，ED交于点G，延长AE，CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K.注意要说明中位线IK的两端点在线段AB和DE上，可求该矩形的面积为720.

图12

图13

（4）同（3），将图11补成图9的形式，如图13，延长BA，CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，再作中位线PQ，作矩形PQMN，可求该矩形的面积为1944cm2.

例1给我们分别提供了解决不同问题的基本模式.数学家笛卡尔也说过“我所解决的每一个问题都将成为一个模式，以用于解决其他相关问题”，我们的解题教学应该多提炼模式、多积累模式，让学生自觉地运用模式去解决新的问题，从而提高解题效率.

四、纵向引申深度拓展

例2 如图14，一块材料的形状是锐角三角形ABC，三边分别为a，b，c，且a＞b＞c，把它加工成正方形零件，使正方形的四个顶点都在三角形边上，问正方形的两个顶点放在哪条边上可使加工出来正方形零件的面积最大？

分 析与 解 ： 设a，b，c三边上的高分别为ha，hb，hc，△ABC的面积为S，落在a，b，c三边上的正方形边长分别为xa，xb，xc.

图14

又因为a＞b，于是xa＜xb.

同理xb＜xc，从而xa＜xb＜xc.

所以当正方形的两个顶点放在最短边上可使正方形零件面积最大.

从例2我们可以得到一个这样的命题，等边三角形的三个内接正方形的面积相等.反之，它的逆命题呢？即一个三角形的三个内接正方形的面积相等，则这个三角形是等边三角形.这个命题直观上感觉是正确的，但需要我们进行严格证明.

例3 如图14，设△ABC三边上的三个内接正方形的面积相等，求证：△ABC为等边三角形.（江苏省初中数学竞赛题）

由已知xa=xb=xc，所以

又因为aha=bhb=chc，所以a+ha=b+hb=c+hc

因为t≠0，所以t2-kt+2S=0，（2）

故a，b，c是二次方程（2）的根，但二次方程至多只有两个相异的根，所以a，b，c中某两数必相同，不妨设a=b.

因为a-c≠0，所以ac=2S=aha，故c=ha.这样△ABC是∠B为直角的直角三角形，b为斜边，于是b＞a，这与a=b矛盾，故a=c.

所以a=b=c，即△ABC为等边三角形.

例2通过纵向引申，开放思维形式，分类讨论来探求结论的一般性；例3是对例2的一个引申结论的逆命题的探索.两个例题的探究过程都能引发学生积极主动地深度思考，需要很强的综合问题解决能力，除了运用引例所蕴含的基本知识和方法外，还综合运用了许多代数的方法，比如例2的作差比较法、因式分解法；例3中一元二次方程的基本理论和反证法思想的运用.这些思维训练，很好地提升了学生的数学素养.

教材是教学的根本，是最经济、实惠的题库，蕴含着取之不尽，用之不竭的题源，教师用好教材可以引发学生深度思考，为学生打开一扇天窗，促进他们的核心素养的提高.习题教学经常做到几问：该题涉及哪些知识点、以什么为主？教学难点在何处？有哪些基本模型和基本方法？有哪些变式或拓展？如何挖掘出其中蕴涵的数学思想方法等？如何将它的知识价值、教育价值的最大化.唯有如此，才能理深刻理解教材，才能让学生脱离题海，回归数学教学本质.