思维导图在初中数学新授课的应用探究

陈广洪

【摘要】 在初中数学新授课教学中引入思维导图，解决课堂中存在的问题，提升教师的教学效益和学生的学习效率。运用思维导图串联新授课的基础知识点，进行相关知识体系的平面化建构；引导学生运用思维导图对新授课内容中的核心条件进行更深度的挖掘和分析，盘活知识结构中的关键因素；引导学生在思维导图中通过建构数学模型的方式对知识、方法进行归纳；引导学生利用思维导图进行错题记录，提高错题收集的效率和实用性。

【关键词】 思维导图 初中数学 新授课 建构

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章編号】 1992-7711（2018）05-025-03

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初中数学教学的主要课型有新授课、习题课、复习课和讲评课，其中新授课所占的比重最大，这就需要教师培养学生对数学新授课形成良好的学习习惯和更具系统化的学习方法。新课改要求：初中数学教学课堂要变为提升学生能力的平台，不仅要培养学生掌握基础知识，还要培养学生分析问题和解决问题的能力，能够将数学知识转变为数学技能。我在此指引下积极开展教学改革，尝试引入思维导图解决新授课教学中存在的一系列问题。

思维导图（Mind Mapping）也被称为“心智图”，它是 19 世纪 70 年代由英国学者托尼·巴赞在研究了大量的人类学习本质的过程后提出的一种新的思维方法，继而把这一方法运用到一些学习障碍者的身上并且进行了总结整理，形成了思维导图的概念和理论。基于此理论下的数学学科思维导图可以把相关的数学学科知识有序地组织在一个网络图中，将数学学科庞杂而零散的知识点贯穿一体，建立起具备学习者自身思维特点的知识树，使各个相关知识点之间的联系一目了然，利于学习者快速地掌握所学内容，同时也充分体现了数学学科所具备的科学思维和逻辑思维特点。可以看出，思维导图是一种高效的学习工具，因此我尝试将其引入至所占分量极重的新授课教学中。

在教学实践中，我发现学生在新授课学习上存在以下几方面问题。首先，学生缺乏一种系统化的学习方法对新授课上的课堂小结进行收集整理，因此各节课的小结多呈现为独立状态，不利于学生在下阶段新授课上感悟知识的延伸和知识点之间的关联，造成知识视野和知识运用的局限性。此外，学生在新授课堂上更注重于新课知识点的即时运用，缺乏对新授课内容中关键因素的深度挖掘和分析意识，造成解题思维上缺乏方向性。同时，学生对具有代表性的数学模型和自身错题的归纳收集意识和能力不足，缺乏一种清晰简明的处理方法，课堂笔记和错题本的使用效率有待提高。针对以上问题，我展开了初中数学新授课中思维导图在以下四个方面的应用探究：知识体系的平面化建构；盘活知识结构中的关键因素；通过建构数学模型的方式，提高学生归纳知识的技能；提高错题收集的效率和实用性。

一、运用思维导图串联新授课的基础知识点，进行相关知识体系的平面化建构

首先让学生将每节新授课上小结的基础知识点用思维导图的方式呈现出来，作为章节知识体系的一个个分支，这样可以为下阶段的新授课中学生新做的知识分支与原有分支对接提供条件，分支之间的对接即能体现出知识点之间的串联。根据建构主义学习理论，学生对知识点之间关联的建构是在个体与环境相互作用下得到生长和发展的，而思维导图是一种可优化学生知识建构环境的学习工具。例如在二次函数的学习中，可使用以下两节新授课的小结分支进行相关知识体系的平面化建构：

在新授课上，我们学习二次函数的一般形式下求顶点坐标有两种方法，原课的设计也是引导学生在已有的二次函数顶点式相关知识上学习配方法，将二次函数的一般式转化为已学习的顶点式解决问题。然而我们发现，部分学生学习这两节课后，相关知识点依然呈现独立化，顶点式和一般式的转化运用的意识和能力并没有得到明显提高。我们在后续求二次函数解析式的新授课上遇到如下一类问题：二次函数y=ax2+bx的图象过点（3，1），且对称轴为直线x=-2，求二次函数解析式。这类题目的条件既不直接满足一般式求解，也不直接满足顶点式求解，而是需要学生对二次函数两种形式的相关知识综合运用解题，我们发现部分对相关知识点停留在独立化层面的学生解题就会感觉到困难。当我们尝试引入了思维导图进行相关知识点的平面化建构，把顶点式的相关知识点作为“温故”环节呈现，引导学生将新课中的环节及时与之进行观察对接和归纳总结，就能使学生更直观掌握知识点平面化的建构方法。例如我们学习了用配方法转化为顶点式求顶点坐标后，立即进行课堂小结，用箭头方向呈现我们解决问题的思考方向；再引导学生尝试类比地去探索二次函数两种形式在顶点和对称轴方程部分的知识对接，让学生归纳总结出一般式求顶点坐标的另一方法：公式法。完成对接后，两种形式下的顶点（-■，■）与（h，k），对称轴方程：直线x=- 与直线x=h之间的关系一目了然。学习该课后，学生对一般式相关知识点的掌握则不再呈孤立状，而是与顶点式相关知识形成平面化效果，学生对上述求解析式的解题中能站到知识平面的层次上去思考问题，解题效果明显提高。如果学生能做到不仅重视两种解题方法的运用，而且立足于更宽阔的视野去思考方法的来源，能把知识点整合成平面化甚至立体化结构，对学生进一步培养建立综合性思维是有很大帮助的。又例如运用思维导图对《圆》和《垂直于弦的直径》这两课时的内容进行相关知识点的平面化建构，我们首先对原课程教学方式进行导图化的展示：

通过导图化展示，教师可以更清晰引导学生理解第一课时中，圆的半径作为关键因素而产生了等腰三角形，既而结合等腰三角形和圆的轴对称性质推导出垂径定理，再结合垂径定理的相关内容总结出直角三角形的转化以及勾股定理的运用的过程，两节课的知识能有效衔接并呈线性推进。同时，该知识点的导图化展示为进一步拓宽学生视野和思维提供了契机。在课堂实践中，部分学生根据以往的学习经验提出他们从等腰三角形已经能联想到向直角三角形的转化，因此在导图中加上了一个从等腰三角形直接指向直角三角形方向的箭头：

这时，知识点的导图已由原来的线性化转为了平面化，指向直角三角形的箭头有两个，却有着完全不同的理解方向。垂径定理引导下的直角三角形转化偏向于学生形象思维下的思维定向思考，而从等腰三角形联想到直角三角形的转化更依赖于学生的抽象思维，是高中数学学习的思维要求。初中数学学习正是学生从运用形象思维思考逐步转向运用抽象思维思考的这一过程，这种思维碰撞能有效促进学生思考习惯和思考方向的转变。随着每节新授课上导图小分支的增加，这一类的思维碰撞会大量出现，教师将该类思维碰撞贯穿于新授课教学中，也能将整节课的思维深度提高，对知识点的教学整体把握更到位。学生把分支进行归纳、分类后，汇总成总结性的思维导图，图中思维碰撞后產生的每一条思维线，都代表着学生思考知识点关联的落脚点，更利于学生将数学知识转变为数学技能。

二、引导学生运用思维导图对新授课内容中的核心条件进行更深度的挖掘和分析，盘活知识结构中的关键因素

在认知心理学说中，“盘活认知结构”是“问题解决”的一种有效策略和方法，使学生能善于将新的学习内容与原有认知结构相互作用，适时地、必要地进行同化或顺应，从而掌握新知识，建构出新的认知结构。关键因素是实现目标所需的关键信息的集合，识别知识点的关键因素，有利于学生建构解题思考方向的优先次序，提高解题效率。因此，知识点中的关键因素是需要学生重点盘活的对象，也是学生新认知结构建构中的核心点。我们在教学实践中发现，即使新授课上学生能即时运用新的知识点解题，也依然会出现解题思考中缺乏方向性的问题。例如在《图形的旋转》一课中，学生遇到了以下一题：

如图，ΔCOD是ΔAOB绕点O旋转后所得的图形，点C恰好在线段AB上，∠AOD=90°，求∠B的度数。

本题的问题是求角度，部分学生根据题目的角度条件，结合课堂上所学旋转角的概念，能对图中相关角的角度展开充分思考，却依然无法顺利解决问题。主要原因是他们把解题的注意力集中在了角度条件，却忽略了AO=CO这组对应边相等的条件，从而无法转化出等腰三角形解决问题。因此我们利用该课课堂小结的思维导图对旋转角进行更深度的剖析，深究形成旋转角的两条边的来源以及相关应用，与“全等图形的对应边相等”以及相关考点的归纳建立知识点关联，引导学生发掘出知识体系中的关键因素和条件解决相关问题：

引导学生运用思维导图剖析知识点的关联性，能使学生更深入了解知识结构以及掌握知识结构中的关键因素，从而盘活认知结构，抓住新知识运用中的重难点，提高学生分析问题和解决问题的能力。当学生学会抓住知识点的关键因素后，教师可通过题型的变式训练引导学生进一步锻炼自己对知识点的提炼归纳和应用能力，提升课堂的纵向思维深度。

三、引导学生在思维导图中通过建构数学模型的方式对知识、方法进行归纳

数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。在思维导图的绘图中，数学模型是比文字更值得提倡的表达方式。积极使用数学模型能开发提升学生的右脑能力，因此与文字信息相比较，数学模型更利于学生记忆和应用。有针对性地在思维导图的构图中建构数学模型，利于学生迅速掌握新知识的运用方法，提高解题效率。例如在一元二次方程的应用部分，我们在新授课上引导学生对增长率问题、几何问题和利润问题建构数学模型。部分学生还主动尝试对循环问题等其它应用类型建构数学模型并归纳进入思维导图，甚至对知识点进行了延伸类比和区别分析：

根据课堂反馈，学生在以往较为薄弱的应用题型的答题效率明显提高。实践证明，思维导图中所建构的数学模型，是能够有效提高学生对各种题型的熟悉程度的。以上导图仍然具备比较明显的知识形象化，因此在二次函数应用部分的教学中，我们尝试将应用问题的归纳进一步抽象化，高度归纳成与抛物线顶点相关和抛物线上与坐标轴的交点相关的两类模型，也使学生对该章节应用题型的解题方向更加清晰，同时进一步锻炼学生自身对知识点的归纳能力。

四、引导学生利用思维导图进行错题记录，提高错题收集的效率和实用性

学习是一个双向建构的活动过程，现代建构主义理论认为，建构有两方面含义：第一，对新信息的理解是借助已有的经验，超越所提供的新信息而建构的；第二，从已有认知结构中提取的相关信息也要按具体情况进行建构，而不是单纯的提取，当今建构主义者更强调了改造和重组已有知识经验这一建构。错题收集就是数学学习中一种借助已有经验进一步进行知识建构的学习习惯，旨在于形成学生个体独有的提高学习效率的学习资料，是很多数学教师培养学生数学学习习惯的环节。学生对错题的收集习惯于习题课、复习课和讲评课后，新授课上出现的错题往往被忽略。以下是《一元二次方程根与系数》一课中学生学案第19页的一道习题：

题2：关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0有两个实数根分别是x1，x2，且x12+x22=7，求m的值。

此题学生出现的主要错误在于虽然运用本课知识算出了两个m值，但并未对m值进行根的判别式的检验。出现此类错误的学生对知识点之间的关联意识和能力是有待提高的，而教师可以引导学生对这些错误进行分析，并且在思维导图中以可视化的方式呈现：

实践证明，相比较使用错题本收集错题的方式，引导学生利用思维导图对新授课上的错题进行收集，具有及时、简便易操作、和相关知识点有效结合并能清晰呈现等优势，有助于学生更早地积累和归纳错题类型，寻找出错根源，从而进一步理清解题思路。同时，所积累的出错率较高的知识点部分得以在思维导图中呈现，学生可以对其重点加以关注，教师也可以引导学生去发现不同错误中的共同致错因素，从根本上纠正错误，从而大幅度提高错题收集的实用性。

新课程改革下的数学教学，是师生之间、学生之间共同发展和互动的环节。初中教学实际上是一个探究性和创造性相结合的教学活动，要求教师具有实施新课程所需要的改革意识和创新技能，对学生的思考和学习能力进行更具科学性的分析。教师在教学中，不仅要鼓励学生积极地思考问题和提出问题，还要及时地给予相应的学习方法指导。我们在新授课的教学中，可以指导学生使用思维导图作为一种学习工具，体会用思维可视化的方式串联起数学较为枯燥的知识点，提高学习数学的兴趣，提升逻辑思维能力，逐步形成提高数学学习效率的一种有效学习方法。

[ 参 考 文 献 ]

[1]张治栋.新课改背景下如何培养初中学生的数学能力.西部素质教育，2016（1）.

[2]张红囡.基于思维导图的教学模式在初中数学教学中的应用研究.

[3]朱福胜.数学观、认知心理与数学学习.

[4]钟珍玖.基于建构主义理论的初中数学“过程化”教学研究.

[5]曾伟，黄泳. “思维导图”助力初中数学难点学习.学周刊，2017（1）.