初中数学学科核心能力的模型构造与应用初探

朱冬新

[摘 要] 初中數学学科核心能力的培育，面临着“可操作性”的挑战. 基于基本的理论，构建“三棱柱”模型，可以清晰地表达数学学科核心能力的六个基本素养的关系，并在具体教学中予以体现.

[关键词] 初中数学；学科核心能力；模型；应用

一线数学教师对于核心能力的培育最关注的问题是“可操作性”的问题，如果核心能力易于理解、容易上手，那核心能力的培育自然就不是问题，反之如果对其理解生涩，到了课堂上不知道如何着力，那核心能力的培育自然也就是一句空话. 初中数学是一门基础性学科，数学课程在基础教育课程中也有着较高的被关注度，某种程度上数学学科核心能力的培育影响着超越数学课程范围的更多学科，甚至还会影响到整个基础教育的核心能力的推进情况——此前一轮课改中关于数学课程标准的争论，或可说明这一点.

基于这个思路，笔者作为一个普通的数学教师，也在探究核心能力培育的可操作性，以尽一位普通教师的绵薄之力. 笔者探究的思路就是基于模型建立对数学学科核心能力的概括性认识，基于模型探究核心能力培育的基本途径. 本文即对此两个话题展开讨论，并谈谈笔者的实践反思.

数学学科核心能力的模型建构

数学学科核心能力是核心素养的下位概念，当前关于数学学科核心能力的理解是从其六个基本要素来进行的. 这六个基本要素是：运算求解、推理论证、空间想象、数学表达、数学建模与数据处理（又称六项基本素养）. 在初中数学教学中要实现这六个基本能力的培育，首先要弄清这六者之间的关系，及其在具体的教学中是如何体现的. 这里笔者以“勾股定理及逆定理”的教学为例，先来进行一个分析.

勾股定理描述的是直角三角形的边长之间的关系，这本身是数形结合、以数述形的典型例子，有数形结合的思想蕴含其中. 在实际教学中，教师会通过情境的创设，如毕达哥拉斯研究朋友家地面砖的图形等，来让学生对这些地砖进行抽象——这里有一个简单的数学建模和数学表达过程（相应的在利用勾股定理解决实际问题的时候，也有将实际问题抽象成直角三角形的过程，也是数学表达）；在得出勾股定理的过程中，首先面临着推理工具的选择问题，通常情况下首次证明会利用与直角三角形三边相关的正方形的面积关系去证明，而这本身并非最直接的工具，能否想到用面积关系来证明，考验着核心能力的另一个因素——空间想象（准确地说，这里主要体现的是对数学解题工具选择的直觉能力，可以认为是数学直观）；而在寻找到面积这一工具之后，证明得出三边关系的过程，就是一个推理论证过程，显然体现的是推理论证能力. 当然，由勾股定理得出勾股定理逆定理的过程，更是体现着推理论证的重要过程，在该知识的教学中，教师的重心就应当落在推理论证这个层面之上；利用勾股定理及其逆定理解题的过程中，无论是数学习题还是实际问题，都会涉及数学处理与运算求解，这是这两个要素的体现，尤其值得一提的是，数学处理在勾股定理及逆定理的运用中非常明显，“3，4，5”“5，12，13”等勾股数必须能够成为学生的一种数学直觉，看到它们就能够想到与之对应的三角形是直角三角形，这是数学处理变成一种直觉的体现.

根据以上分析，在勾股定理及逆定理的教学与应用中，可以说完全体现了数学学科核心能力的六个要素，而再从这六个要素的体现来看，显然数学表达、推理论证与数学建模在其中起着支撑作用，而另外三个要素则在这个层面的基础上起着完善学生思维、体现数学学科特征的作用. 因此，笔者以为初中数学学科核心能力的模型可以是这样的（如图1）：数学表达、推理论证与数学建模形成了代表核心能力的三棱柱的三个支点，对于初中数学教学而言，构建出了这三个支点，核心能力的培育基本上也就全面了（根据史宁中教授的研究，这三者其实是可以包括另外三个要素的）.

在这个模型中，一共9条边意味着任意两个核心之间都存在联系，而在具体知识的教学中，核心能力的培育有可能是以“点”的形式存在的，即只有一个基本素养得到了培育；有可能是以“线”的形式存在的，还有可能是以“面”或“体”的形式存在的. 考虑到数学知识的教学为核心能力的培育提供了基础与情境，在实际教学不可为了追求核心能力的培育，而刻意地将“点”拓成“线”，将“线”拓成“面”.

基于核心能力模型的教学实践

通过以上模型，可以比较清晰地知道数学学科核心能力的六个基本素养之间的关系，那到了具体的实践过程中，实际教学如何保证核心能力的培育得以实现呢？这里不妨将上面所举的“勾股定理的逆定理”的教学为例来详细说明.

首先，让学生回忆勾股定理的题设与结论，强化学生对勾股定理描述直角三角形作为“形”的数量关系的认识，同时回顾从题设到结论的推理论证过程. 然后提出问题：如果一个三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2的关系，那么这个三角形是不是就是直角三角形呢？为了强化学生对此问题的认识，教师可以借助于古埃及人画直角三角形的方法——将一根长绳打上等距的12个结，然后构成三边分别是3，4，5个结的三角形. 这个具体情境实际上呼应了上面的问题，同时借助于具体的数据，利用学生对勾股数的直觉来更好地认识勾股定理逆定理证明的题设与条件.

其次，证明勾股定理的逆定理. 具体过程交给学生，要求学生根据问题，在自己的草稿纸上画出图形，写出题设和结论. 这个过程对于优生而言通常问题不大，但对于中等生及其学困生而言，会存在一些问题，而解决这些问题的过程，就是数学学科核心能力的基本素养得以体现的过程（实际教学中可以将这些过程呈现给所有的学生，以让优生也能看到其中可能存在的思维不足）. 如，有学生的思路先是根据具体数值来画三角形的，但他画的是任意三角形，然后也在三边上标了3，4，5，这显然是数据处理能力存在问题，或者说没有良好的空间想象，甚至可以说是缺乏基本的推理能力（当然这里的推理是合情推理）——都已经指明了要证实直角三角形，为什么还画一个一般三角形呢？又比如说有学生在画图的时候在三角形的实际直角处标了一个直角符号，这个细节是否值得研究呢？显然是搞乱了题设与结论的关系，是需要强调的. 当然，这个环节中的核心是构造一个直角边分别是a和b的直角三角形，然后先用勾股定理证实其斜边长为c，然后再利用三角形全等证出其为直角三角形.

最后，引导学生反思这一学习过程，包括从题设与结论的描述，到利用全等三角形来作为证明工具，再到逆定理的具体表述. 在反思的过程中，教师可以基本核心能力为主线，比如说题设与结论的描述运用了推理论证；对细节的强调帮学生理清了逻辑关系，从而也就强调了数学处理与数学直观的必要性；对全等三角形证明工具的选择来构造一个直角三角形，这是证明的核心过程，也是勾股定理描述的直角三角形关系模型与空间想象共同作用的产物. 总之，这个过程中，核心能力的体现是充分的，同时又是不突兀的，可以视作是一个有效的核心能力培育过程.

数学学科核心能力培育的反思

数学学科核心能力的培育尚处于起步阶段，迅速上手、高效实施是核心能力培育的基本要求. 根据有限的实践去反思数学学科核心能力的培育，笔者以为还是要遵循两个基本原则：一是要保证自己对核心能力的理解是清晰的. 坦率地说，完全从理论层面建立起复杂的理解，对于一线教师来说是有困难的，是很难实现的. 但要保证自己所懂的是正确的，譬如数学学科核心能力的六个基本能力，这个理解不能有偏差. 而基于已有的理解去构建新的理解，需要从理论逻辑与实践两个方面去进行. 笔者所构造的正三棱柱模型固然粗糙，但其可以基本上明晰六个核心能力之间的关系，可以反映六个核心能力之间的不同的重要性及互相影响，因此至少是具有初步的应用价值的. 二是要在实践当中总结核心能力培育思路. 事实证明，只有在教学中对核心能力进行连续不断的思考，才能有新的认识生成，这意味着在教学中，教师要关注数学知识的构建，要关注学生的考试成绩，同时也要关注知识构建、问题解决、教学评价过程中学生的核心能力是否得到有效培育的问题，又或者说需要思考如何更好地解决这些问题.

总之，在数学教学中，只有通过持续不断的反思，才能让反思具有深刻性，才能让核心能力成为教师教学研究的一条主线. 而反思的结果，必然是让教师心中的关于学科核心能力的模型更加清晰，从而在增强了操作性的前提下，更好地实现数学学科核心能力的培育.