初中数学需要培养的基本能力

秦爱东

[摘 要] 《法国义务数学课标》提出的信息的收集整理与探究、建模、表征、推理、计算与交流等六个基本能力与我国的要求一致. 笔者认为，结合具体实例研究能力培养，是数学教师的基本任务，初中数学教学要重视表征能力的培养.

[关键词] 初中数学；基本能力；能力培养

近日，有专家比较研究了《法国义务数学课标》（以下简称《法标》），得出的重要结论之一，就是该课标最有特色的是提出了六个能力目标，这六个目标分别是：信息的收集整理与探究、建模、表征、推理、计算与交流. 将这六个目标与我国《义务教育数学课程标准》进行比较可以发现，探究、建模、推理、计算、交流等，与我国数学课程标准的要求基本上是相同的，而信息的收集整理在我国的数学建模中也是一个前置性的任务，差异较大的是“表征”这一概念. 而这也引起了笔者的兴趣，同时基于他国的课程标准理解，也可以给我们的教学带来新的启发，从而促进自身对数学教学的理解，基于这样的思路，笔者进行以下几点综合阐述.

数学视角下的信息收集整理

与探究

法标中对信息的收集整理与探究的目标描述包括这样的几个方面：一是能够从文件（笔者以为这个概念可以扩展，起码未必是指文本式的文件）中提取有用的信息；能够参与科学活动，并通过观察、质疑、操作和试验，以提出假设并进行证明；能够将情境简化或特征化（某种程度上讲就应当是数学化）；能够将大问题细化成小问题，然后探究不同的简化方案. 这些描述都是基于信息这一核心概念而进行的，法标重视信息应当说是可以理解的，尤其是在与我国的数学传统教学进行比较之后可以发现，我国初中数学教学在很长的一段时间里，都是就数学而教，却忽视了数学与生活尤其是与学生生活的联系，而这种纯粹的逻辑推理的学习，使得学生失却了对信息最基本的敏感，也使得数学无法真正应用于生活.

当然，今天的初中数学已经强调对信息的感知、收集与加工，也因而我们应当看到，面对信息尤其是信息中数学因素的提取，应当成为当下初中数学教学的重要取向.

例如，在“轴对称”的教学中，在建立轴对称概念之前，笔者尝试呈现一组关于建筑的主题图片，从天安门城楼到故宫博物院，从人民大会堂到英国的白金汉宫，从埃菲尔铁塔到凯旋门. 在呈现这些素材的时候，笔者尽量不提供任何指引性的语言，而是让学生去直接感知. 而为了让学生的思维向轴对称聚焦，笔者还借助于现代教学手段，将这些彩色图片进行黑白化处理，然后进行虚化直到呈现建筑的轮廓，在这样的图片演化过程中，学生能够明显感觉到所有的建筑物都具有一个共同特征，那就是“左右是相同的”（这是学生初步描述的语言），而一旦学生意识到这一点，那建立轴对称概念并探究其性质，就有了坚实的认知基础.

再如，在学习了轴对称之后，可以让学生去举出身边对称建筑物的例子，这样学生的思维所加工的对象，就是身边的事物，学生所运用的思维就是带着轴对称知识对身边的事物进行判断的思维. 这个过程中还可以让学生对一些对象进行精细研究，比如说一张桌子或一本书，看可以找出多少条对称轴等. 这种从生活事物中获取信息并从中提取所学的数学知识的过程，就是一个信息收集整理加工的过程，其可以促进数学知识的深刻理解，进而形成卓有成效的数学视角与数学能力. 有意思的是，在上述教学环节中，还有学生别出心裁地去研究汉字的结构，然后找出了一些近似轴对称的汉字，笔者以为这也是一种很好的轴对称知识运用的意识.

这样来看法标中的信息收集整理与探究，可以发现这是学生数学能力的一种重要展现. 其与数学学科核心素养中所提出的数学抽象其实也是密切相关的，因为一个信息是否能够纳入学生的数学视角，学生又能否从纷繁的信息中进行有效整理与探究，本质上就是一个数学抽象的过程. 故而从这個角度来看，培养学生信息收集整理与探究的能力，与核心素养是一脉相承的.

数学建模及其相关的其他能

力培养

数学建模是数学学习中必须形成的一个基本能力，尽管在《法标》中数学建模与其他相关的能力是分开讨论的，但笔者以为数学建模实际上是一个相对综合的过程，逻辑推理、计算和交流等能力往往都存在其中. 所以说从综合能力培养的角度来思考数学建模及其他能力的培养，对于初中数学教学来说也是可行的.

《法标》在阐述建模能力的学习目标时是这样确立的：能判断成比例的问题情境，并能够解决相应的问题；能把实际问题用数学语言表述（这实际上也与数学抽象有关）；理解并能够运用数或几何来模拟实际情况（这实际上是数学运用）；能判断一个数学模型是否正确（这是初中数学教学中比较缺失的）等. 仔细研究这些表述，可以发现这其中有一个明确的思路，那就是《法标》中的数学建模是特别强调与实际问题进行联系的，而这也是我们初中数学教学中一个被忽视的地方，我们在强调数学模型的时候，更多的是希望其能够为解决一些习题提供帮助，而不是为了在学生的思维中建立一个丰满、立体的数学形象.

在苏教版八年级上册的“整式的乘法”中有这样一个引入性的问题：一种电子计算机每秒可以进行一千万亿（1015）次运算，那它工作103秒可以进行多少次运算？实际教学中，这个问题的解决所得到的表达式是am·an=am+n（m，n都是正整数），这里，这个表达式就可以视作一个数学模型，一个用于解决同底数幂的乘法的模型. 这个模型的形成过程，通常是通过数学探究来实现的. 教材上给出的探究过程实际上是一个不完全归纳法的运用：25×22=2（ ）；a3×a2=a（ ）；5m×5n=5（ ）（m，n都是正整数）. 虽然这里只有三个式子，但却各具挖根生，第一个式子是纯粹的数字表达，适合学生的思维特点；第二个式子的底数是字母表达；第三个式子的幂是字母表达. 学生经由这三步的演算，思维就逐步向最终的同底数幂表达式靠近，实际上也就完成了一个逻辑推理的过程，进而也就培养了逻辑推理的能力. 这其中自然也涉及了计算，于是计算能力的培养是自然而然的. 至于交流能力的培养，更多的是在具体的学习过程中形成，这与教师组织学习的方式有关. 当前我国课程标准中所强调的小组合作学习已经成为主流学习的方式之一，其对学生交流合作能力的培养非常有用.

其实这个教学过程中还是有潜力可挖的，比如说在最初解决计算机那个问题的时候，可以放大一下学生数指数上0的个数的过程，如果不出意外，学生会感觉到0的个数太多，数起来太累. 这个时候教师可以“霸道”一点，坚持让学生迅速地数且要数对，这样做的主要目的，就是让学生感觉到愤或悱，以为后面同底数幂的乘法公式这一模型的出现奠定启发式的心理基础. 这样学生会对所得到的数学模型印象深刻，从而也就提升了模型运用的能力. 又如推理能力与数学建模关系的确定，也可以为两个能力的培养寻找新的契机，前者既存在于数学模型的建立过程中，又存在于数学模型的运用过程中，强化数学模型建立与运用过程中的推理，对于逻辑推理能力乃至于直觉（合情）推理能力都有好处.

初中生数学学习中表征能力

的培养

关于表征能力的培养，在我国数学教学研究的视域里，表征这个概念并不多见，即使有也通常是作为描述其他数学教学理念的辅助性概念，因此其在《法标》中出现，确实引发了笔者很大的兴趣.

表征本是一个心理学的概念，其指对客观事物的反映. 数学学习中的表征，主要是指利用数学概念或规律去准确地描述一个事物，于是数学表征能力也就是学生运用数学概念的能力，这个能力是由学生对数学概念、规律的理解来支撑的. 《法标》中对表征能力的目标描述是：能够选择合适的内容模块来阐述一个问题或学习一个数学知识（其余的在此不赘述）. 这样的表述与我们的理解一致，也需要在今年的数学教学中加以强调.

表征实际上是一个复杂的过程，不同学生的个体，由于擅长的思维方式不同，因而即使学习同一个知识，其所采用的表征方式有可能不同，这也是造成学习结果差异的重要原因（有的教师抱怨“我一样上课的，不知道为什么有些学生就是学不会”，这个抱怨的答案可能就与数学知识的表征相关）. 比如说上面所举的轴对称的例子，有的学生习惯于形象思维，因此他大脑中可能留存的就只是对称图形的表象，而没有利用对称轴等构建出来的数学概念，因此这类学生对轴对称图形敏感，而对相应的数学语言的运用存在困难，因而这类学生在试卷上出错的往往也就是对数学语言运用要求较高的题目.

通过这个例子可以看出，表征能力的培养确实是比较重要的，某种程度上讲，其是当前提高教学效益最有价值的切入口.