分类讨论思想让初中数学教学更精彩

马军

[摘 要] 数学思想方法是初中数学课程教学的重要组成部分，本文从初中数学教学实践出发，侧重对“实数题型、几何题型、方程题型、函数题型”等几种典型题型进行探讨，旨在呈现分类讨论思想方法的效用，希望能给教育同仁们带来一些参考价值.

[关键词] 初中数学；课堂教学；分类讨论；思想方法

分类讨论是初中数学教学中的重要思想方法，在数学解题教学中具有积极的指导作用. 所以，作为初中数学教师的我们，应注重分类讨论思想的讲解，要帮助学生掌握不同题型分类讨论的关键点，确保分类不重不漏，进而提高学生的数学解题能力，为学习更深层次的数学知识奠定坚实的基础.

实数题型中的分类讨论

实数题型中的分类讨论常见于带绝对值符号、二次根式化简的相关题型中，因绝对值中的字母及被开方数中含有字母，从而正负不能确定，此时需要进行分类讨论，此类题相对来说难度不大. 在教学中，重点是让学生明白为什么要进行分类讨论，以及如何进行分类讨论才算解答过程完整，培养学生的分类讨论意识，提高解题正确率.

案例1？摇 已知x是实数，化简x-1+.

辨析？摇 本案例中无法直接去掉绝对值符号和根号，显然需要根据不同的情况进行分类讨论. 此题找到准确的分类点是进行分类讨论的关键，这也是学生解题出错的重灾区. 对于本题，主要分x≥1，0

在教学中，教师应多讲解类似的试题，让学生加深对分类讨论思想的理解，充分感受到分类讨论思想的重要性以及数学知识的奥妙. “当某些参数的取值不确定时，应及时进行分类讨论”，掌握这一关键点后，学生遇到类似试题将不再不知所措，能更加积极地投入到学习活动中.

几何题型中的分类讨论

初中数学涉及的几何题型通常都是综合应用题，涉及分类讨论的只是其中一个小问，难度系数较大，对学生的综合素质要求较高. 为了提高学生解答此类试题的信心，掌握解题技巧，教师应注重讲解一些典型例题，与学生一起分析，逐步对学生进行引导，使学生在愉快的学习氛围中完成分类讨论知识的学习.

案例2？摇 如图1，在直角三角形ABC中，BA⊥AC，AB=AC=2，D为斜边BC上除B，C两点之外的动点，过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E.

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当△ADE为等腰三角形时，试求AE的长.

辨析？摇 本题第（3）问的条件是△ADE是等腰三角形，不能直接确定哪两条边是腰，所以存在三种情况，即AD=AE，AD=DE，AE=DE. 在解题教学中，笔者引导学生根据题设信息进行分析，不少学生发现AD=AE这种情况是不可能存在的（无法构成三角形），所以只需要讨论另外两种情况即可. 学生的自主讨论激活了课堂教学氛围，笔者及时、有效的点拨，促进学生找到了正确的结论. 试题讲解完后，笔者引导学生进行总结、拓展、延伸，让学生明白对于三角形问题，不清楚角和边的关系时，可以进行必要的分类讨论.

方程题型中的分类讨论

方程是初中数学的重要内容，有关方程的题型复杂多变，一些学生反映学习起来难度较大，尤其遇到分类讨论时，不知道如何下手，有些试题即便知道讨论，但讨论的情况不全，容易遗漏，导致看似简单的问题不能得满分，因此，教师应以具体的例子作引导，通过与学生互动，使学生逐渐掌握方程题型中分类讨论的方法，加深对所学数学知识的理解.

案例3？摇 关于x的分式方程，当m为何值时，方程无解？

笔者在讲解本题时，并没有直接呈现解题过程，而是与学生进行互动. 在与学生互动的过程中，笔者逐步引导学生进行分类讨论，使学生意识到分类讨论时应注意的問题，具体互动如下.

师：看到该试题时首先应该怎么做？

生：化简.

师：好的. 那同学们先化简吧.

学生化简并整理后得到（m-1）x= -10.

师：方程无解的话，应满足什么条件呢？

生：m-1=0，即m=1.

师：很好，同学们再想一想，还有哪些情况呢？

当学生回答不上来时，笔者加以引导，让学生重新观察给出的条件. 学生进行化简时，默认给出的分式方程没有增根，所以得出的结果容易出错. 此时，笔者引导学生思考方程存在增根的条件，学生最后发现在x=±2时，分式方程有增根. 显然，学生因考虑问题不全面而出错. 对于中学数学，教师可以结合具体试题，强化师生互动的教学方式，有效完成分类讨论教学，进而促进学生学习的积极性，从而获得预期的教学效果.

函数题型中的分类讨论

在初中数学课程教学中，函数一直是教学的重点和难点. 在各类考查中，函数问题失分比较严重，特别是函数与其他数学知识相结合的问题甚为明显，若涉及分类讨论，学生更是不知所措，内心会产生畏惧，甚至直接跳过，所以此类题是学生失分率较高的题型之一. 为此，教学时，教师应多讲解相关题型，借助相关的图像进行讨论. 实践表明，借助图像进行讨论，能有效避免讨论不全面的情况发生，能帮助学生顺利解题，降低难度.

案例4？摇 已知抛物线为函数y=-x2+4x+5向右平移1个单位长度后所得，点T（5，y）在抛物线上，P为抛物线上点O与点T之间任意一点，那么在线段OT上是否存在一点Q，使得△PQT为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

辨析？摇 本题属于二次函数综合应用题，涉及数形结合思想方法的灵活运用，难度系数较大. 对于此题，抛物线方程和直线方程的求解是成功解题的关键，对直角三角形中直角的分类是解题的重点和难点. 笔者在实际教学时，引导学生运用图像平移的性质得到抛物线方程为y=-（x-1）2+4（x-1）+5=-x2+6x，于是可得T（5，5），所以直线OT的方程为y=x. 在教师的点拨下，学生根据案例2的收获，分∠TPQ=90°，∠PQT=90°和∠PTQ=90°三种情况进行讨论，要求学生借助图像进行处理，最终得出满足条件的点Q的坐标为（1，1），（2，2）或（3，3）.

最后，笔者鼓励学生总结，认真记录解题的精彩之处，分析解答该类试题应注意的问题，以让学生在今后遇到类似题时，能迅速找到解题思路.

总而言之，初中数学知识点多而零碎，数学题型复杂多变，应用数学思想不仅能提高课堂教学效率，让学生感受到学习的精彩之处，而且能激发学生主动学习的自信心. 因此，在教学实践中，教师应注重数学思想的传授，尤其教学分类讨论思想时，要求教师结合具体的教学内容，认真剖析相关题型，使学生掌握分类讨论思想的内涵与规律，将数学知识学活，最终实现解题能力及数学成绩的进一步提高.