巧用错题资源，提升思维品质

乔云成

[摘 要] 错题是初中生数学学习中的宝贵资源. 错题资源的发掘，目的要锁定在提升学生的思维品质上. 错题资源的发掘需要师生共同认识其价值作为前提，然后在具体的策略下实施.

[关键词] 初中数学；错题资源；学习品质

教学质量是衡量教师个体教学水平的主要因素，教学质量与教师的教学相关，也与学生的学习相关. 从辩证的角度来看，教学质量是师生教与学相结合的产物，就初中数学学科而言，教师的教学质量更多的决定于学生的学习质量，因此数学教师在教给学生数学知识的同时，更要教会学生如何学好数学. 考虑到学生运用数学知识的主要环节在于解题，因此从解题角度提升学生的数学学习品质，就成为提升教学质量的重要举措. 在实际教学中，最能体现数学思维品质的是解题（问题解决），最能反映学生思维不足的也是解题，尤其是当遇到学生做错题的时候，师生如何面对？又应当采取什么样的跟进措施？笔者以为这是需要重點研究的课题，只有当错题当作一种资源，并从这些资源中发掘教学价值，才能让学生的数学学习品质得到进一步的提升，本文试就这个话题展开探讨.

初中数学错题的资源价值在哪里

认识到数学错题的资源价值所在，才能真正发掘出其价值，并且服务于学生的数学学习.

当前，数学教师关于错题的价值认识普遍基于这样的一种共识：错题在得到重视并进行了适当的重复之后，学生能够做对，于是解题能力就能得到一定程度的提升. 这样的认识符合经验，同时这样的认识又有一定的局限性. 经验表明，当前学生在数学学习中表现出的一个显著特点，就是只有做过的习题才能在下次遇到时轻车熟路，而只要题型一变，就会感觉非常困难，甚至是连一些学优生也是如此. 在感觉到困惑的同时，教师通常会选择帮学生扩大视野，即通过设计、编制更多种类型的题目让学生去练习，而在出错之后则继续进行错题整理与归类，以试图提高学生的解题水平.

在笔者看来，这样的做法的作用可以说是治标不治本，因为数学习题真如海，有限的训练不可能让学生形成必要的解题能力（当然，笔者并不反对必要的、一定量的训练）. 因为如果说学优生身上都表现出这种缺乏应对变式或反例（最基本的两个心理学概念）时，那说明我们的训练方法可能存在不足. 或者说得直接一点，就是简单的错题整理与归类，实际上并不会让学生的解题能力有明显提高. 因此，错题的真正的资源价值是需要重新发掘的.

笔者以为，初中数学教学中将错题视作宝贵的资源并发挥其价值. 需要建立两个基本认识：第一，有价值的错题，必然反映学生思维的不足. 因此并不是所有的错题都是有价值的，只有真正反映学生思维盲点的错题，才具有研究的价值；第二，错题研究的方向不在于一道题的解决，而在于一类题的解决，因此错题资源的开发与利用，应当是一个系统过程，绝不是错题整理一下、正确答案书写一下就完事的. 基于这样的两点基本认识，笔者以为数学教师对错题及其价值的认识要提升一个层次，至少要将目光集中到提升学生的思维品质上来；而从学生的角度来看，让学生在研究错题的过程中，反思自己的解题思路上的不足则是必然之举.

用数学错题提升学生的思维品质

那么，利用数学错题来提升学生的思维品质，到底有哪些具有可操作性的措施呢？笔者结合自己的实践进行了总结，提出如下三点错题分析思路供同行们参考：

第一，能力主线式错题整理. 整理错题切忌错一题整理一题，结果可能会得到一本工工整整的错题集，但其可用性与实效性实际上是得不到保证的，相比较而言，笔者更倾向于学生通过分析自己的数学解题能力，尤其是发现自己解题能力或者说某种意识的不足来整理错题. 比如说在一类几何证明题中，笔者指导一位学生发现自己在证明“两角相等”和证明“一条线是某角的角平分线”时所出现的错误，让学生认识到了其出错原因在于没有将角平分线的性质——角平分线上的点到两边的距离相等活学活用，他不知道利用这个性质引导自己去形成构建全等三角形的思路. 于是笔者让他将曾经错过的若干题目中的两题提取出来记入错题集，并在这两题之前做上同样的记号，这两题题干看起来并不相同，但实质都指向同一思路. 这种遵循同一思路去整理错题的做法，是发掘错题资源价值的重要基础.

第二，思路回溯式错题分析. 错题的价值是要通过分析才能发现的，分析的落脚点应当是解题思路，而解题思路中的不足是通过比较才能发现的，因此有效的比较是数学错题资源价值发现的重要途径.

例如这样的一道题目：如图1，△ABC和△EFC都是等边三角形，AD是△ABC的高，AB=4，若点E在直线AD上运动，连接DF，则在点E运动过程中，线段DF的最小值是（ ）

这题本来的思路是根据三角形的性质来判定得出∠FBC=30°，进而根据垂线段的性质判断当图中的DF与BF垂直时，DF取最小值，然后根据刚刚得出的∠FBC=30°与直角三角形的性质来求解. 而学生在解题的过程中，他们的思路常常卡在不知道DF的值在什么时候最小. 通常情况下，学生对此类习题的解答都需要教师的讲授才能构建完整的解题思路，而这个思路之于学生的价值，则在于帮学生完善自己原有的思路. 打个不恰当的比方，这类试题学生在初次解决的时候，其思路是零散的、碎片化的，而教师的讲授就如同修补匠一般，是帮学生的原有思维打补丁的过程. 真正有效的学习过程，不是接受这些补丁，而是在补丁打完之后学生的反思过程. 笔者在此题教学的过程中，重点让学生梳理自己原有思路的“错误”（这是错题的价值之一），然后让学生复述正确思路，并比较自己思路与正确思路的差异，重点判断自己在哪个地方没有形成准确的判断. 待到自己的思路清晰之后，笔者还让学生在错题集上进行反思性描述，其大体格式是这样的：初次思考时，因为……原因，没有想到关键的……一步；梳理正确的解题思路之后，我认为……对我而言是最关键的，以后解题要注意……

这种反思式的错题总结，实际上是让学生回溯自己的初次解题过程，并将之与正确的解题思路进行比较，以在比较中发现自己的不足. 这种分析错题的思路，应当成为初中数学错题资源发掘中的常态，很多时候我们发现学生在解题之后就忘记了自己的解题思路，笔者以为这是学生解题中过于被动的表现，说明了学生对自己解题思路清晰化的忽视，而真正学习能力强的学生，是不会这样的. 通过这种回溯式的分析，可以让学生逐步形成注重思维品质，并在错题中提升思维品质的习惯.

第三，合作对比式错题总结. 初中学生的心理特点决定了他们在做错题目之后，总喜欢掩饰自己的错误，这实际上无形当中使得学生丧失了一个直面自己错误的机会. 针对学生的这一心理特点，笔者的错题资源发掘的另一思路，就是培养学生“强大的心理”，让学生不但敢于面对自己的错误，还愿意与他人分享自己的错误. “分享错误”对于学生来说，是一个新的学习理论，笔者跟学生强调：在初中数学学习的过程中，没有谁不出错的，即使是最优秀的学生，有时候也会犯低级的错误（这里可以征得優生的同意，举他们的实际出错的例子）……错误其实往往比正确更有价值，因为在日常的训练过程中，做对了题目说明自己已经会了，说明这些题目对自己已经没有多大的价值了，而只有做错了的题目，才能让自己获得更大的进步. 通常情况下，初中学生是能够认识到这一道理的，在学生认同了这一理念之后，教师可以利用小组合作的学习方式，让学生就某个阶段所做错的题目进行专题讨论，事实证明，这确实是一个非常好的策略.

有一次测试的时候，笔者发现学生的所出的错误呈现出两个特点：一是部分难题，错误集中；其余部分中档题，则出错比较分散. 基于这一特点，笔者让学生在小组合作中分两步对错题进行讨论分析：首先，看共同的错题，这实际上是共性问题，教师讲授不可忽视，具体不赘述；其次，就分散的错题在小组内“先提问，后讨论”. 提问就是讲自己的思路，讲“为什么我这么做就错了”，讲“这种题目应该怎么想（思考）”. 而且笔者明确必须这么问，因为只有这么问，学生的解题方法的意识才会增强.

例如这样一题：如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，A（-4，0），B（0，2），（1）求点C的坐标；（2）如图3，若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB，AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角三角形BOF与等腰直角三角形ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其长度.

在讨论中，笔者要求做错的学生必问的问题是：第1问对第2问有什么作用？这是这一类题目的基本特点，通常第1问对第2问的求解都有思路上的启发作用，而很多学生之所以出错，正是因为不能很好地意识到这一点，或者说虽然意识到，但由于题设条件变化较大，他们无法实现有效的转变. 而这种情况下，学生之间的讲授，可以让他们在安全的学习情境中打开思路，最后教师再加以点拨，就可以让学生的思路更加明晰.

错题资源的发掘须建立生本意识

错题资源的发掘与数学概念的教学不同，在解题中，错误是学生自己犯的，错误反映着学生思维的不足或者说缺陷，而矫正错误也是学生自己的事. 因此，教师研究错题并尝试以错题分析为出发点来提高学生的解题能力与思维品质，关键的一点，是必须坚持以学生为本，真正从学生的角度出发去思考问题.

具体有两点认识：一是要让学生理清自己错在哪里，哪怕学生忘记了自己的解题思路，也要让学生重新看自己的错误解题过程，以知道自己错在哪里. 只有知道“错在哪里”，才能认识到“对在哪里”的价值；二是要让学生自己描述正确的解题思路，通常错题订正的时候，学生只喜欢抄正确答案，却不知道背后的思路. 严格来说，这不是真正的订正，真正的订正是需要思路支撑的. 因此，说思路比写过程更重要.

当然还有必须交代的一点，本文所说的错题，是指学生有思路，但思路出错的那些试题. 一点不会、毫无头绪的错题，严格来讲，不在学生的“最近发展区”之内，其价值发掘不如这一类试题.