对课本中一道习题的深入探究

廖中山

[摘 要] 课本是最具权威的学习资料，课本上例题都有很高的研究价值，对例题和习题的探究与思考，会达到举一反三的效果，比盲目的题海战术更有效. 文章对人教A版必修5第二章章末练习的一道习题进行了深入研究，并给出了形如an+1=pan+qan-1（n≥2）的递推公式求通项公式的一般解法.

[关键词] 数列；递推公式；特征根法

■习题再现

（人教A版必修5第二章章末第6题）

已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），对于这个数列的通项公式做研究，能否写出它的通项公式？

解析：题干给出的是常系数二阶齐次线性递推形式的递推公式，求这个数列的通项公式. 表面上对这道题看起来好像束手无策，因为学生只学过由一阶递推公式求通项公式的方法，但此题是二阶的形式，没有现成的解法. 但是利用“化归与转化”的数学思想，自然想到这个二阶的问题能不能转化成一阶的形式呢？注意到这个递推公式的相邻三项的系数都相差1，利用整体代换的思路很容易想到以下解法.

解法一：考虑在an=2an-1+3an-2两边同时加上an-1，便可以得到an+an-1=3（an-1+an-2），

利用整体思维，令bn=an+an-1（n≥3），那么bn-1=an-1+an-2，所以就可以得到bn=3bn-1（n≥3），这样就实现了“降阶”，显然很容易就可以求出{bn}的通项公式为：bn=7×3n-2（n≥2），进而an+an-1=7×3n-2（n≥2）. 这是常见的一阶递推公式求通项公式的形式，在an+an-1=7×3n-2（n≥2）两边同时除以3n，得到：■+■·■=■. 显然，再做一次代换：■=cn（n≥2），得到cn+■·cn-1=■（n≥2），这是最基本的一阶常系数线性递推的形式，利用公式可求得：cn=■-■■+■（n∈N*），注意■=cn（n≥2），

可得an=3ncn，所以可以得到：a■=■·[7×3n-1+13×（-1）n-1]（n∈N*）.

这种解法中间做了3次代换，利用“化归”的思想一步一步降阶，把未知的形式转换成已知的形式，最终将题目中an=2an-1+3an-2这种二阶常系数递推公式转化成熟悉的cn+■·cn-1=■（n≥2）一阶常系数线性递推公式，从而得到了答案. 从解答过程来看，还存在另一种更为简便的解法.

解法二：由解法一可得an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3），利用“迭代”的思想可以得到，

an+an-1=3（an-1+an-2）=32（an-2+an-3）=…=3n-2（a2+a1）=7×3n-2，同理，如果在an=2an-1+3an-2的两边同时减去3an-1，可以得到an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3），

同样利用“迭代”的思想可以得到：an-3an-1=…=（-1）n-2（a2-3a1）=13×（-1）n-1，所以得到：an+an-1=7×3n-2，an-3an-1=13×（-1）n-1，显然 “消元”就可得到{an}的通项公式为： an=■·[7×3n-1+13×（-1）n-1]（n∈N*）.

第二种解法避免了烦琐的代换，而是利用了“方程的思想”，首先想办法建立关于an与an-1的方程组，然后通过解方程，求得{an}的通项公式. 实际上，这两种方法的关键就在于题干给出的递推公式的系数是有特点的，系数的绝对值都是相差常数1，这样很容易利用“凑型”，实现“降阶”，如果题干中给出的是一般的形式：an+1=pan+qan-1（n≥2），这时再来“凑型”就没那么容易了，我们可以利用高等数学里面的“特征根法”来解决.

■推广到一般形式

一般的，对于an+1=pan+qan-1（n≥2）的二阶线性齐次递推式，它的通项公式的求法，首先构造特征方程x2=px+q，解出特征方程的两个根x1，x2（x1，x2可为虚数）.

（1）若x1≠x2，则可构造等比数列{an+1-x1·an}和{an+1-x2·an}，分别求出构造的两个等比数列的表达式，再通过解方程的思想就可得到{an}的通项公式.

（2）若x1=x2=x0，还是可以构造等比数列{an+1-x0·an}，求出这个等比数列的通项公式，这样就完成“降阶”，再利用常规的待定系數法就可以得到{an}的通项公式.

不妨利用“特征根法”来解决这道例题.

解法三：构造特征方程：x2=2x+3，解得x1=-1，x2=3. 所以构造等比数列{an+1+an}与{an+1-3an}，利用等比数列通项公式，求得an+an-1=7×3n-2，an-3an-1=13×（-1）n-1，解方程可得：an=■[7×3n-1+13×（-1）n-1]（n∈N*）.

■总结

课本的习题都只是冰山一角，作为教师，应该充分挖掘教材上的例题与习题，精讲课本上的例题与习题，往往会达到事半功倍的效果. 实际上，近两年的高考题有些就是课本上例题与习题的变式，比如2016年江苏高考第14题就是苏教版必修4第三章第二节的一道例题的变式.实际上，本文中的递推形式还可以有推广，如果对于二阶线性非齐次递推数列，形如：an+1=pan+qan-1+A（p，q，A≠0）的递推公式，可以先采用“阶差法”转化为二阶线性齐次递推数列，进而利用本文介绍的“特征根法”可以得到解答.