三角函数最值问题的思考

陈璐瑜

摘 要：三角函数在数学学习中占据重要的比重，其学习质量的好坏与数学学习成绩密切相关。由于三角函数的知识内容较为丰富，其理论性、逻辑性、应用性较强，因此这一块是教师与学生公认的学习重点与难点。基于此，本文在总结学习经验的基础上，以三角函数最值问题为研究对象，提出了几点求解三角函数最值问题的办法，以供参考。

关键词：三角函数；最值问题；解题方法

引言

从教材教学内容与高考考试内容分析可知，三角函数的最值问题在高中数学学习中占据重要地位，掌握三角函数最值问题的解题方法对提升数学学习成绩具有重要的现实意义。从典型三角函数最值问题可知，三角函数最值问题侧重于生活实践问题的考察，包括生产利润最大化、区域距离最佳化、投入成本最小化等，同时三角函数最值问题的有效解决与三角函数概念、性质、公式、图像规律以及各类型三角函数之间关系的准确掌握与应用存在密切关联性。因此，研究三角函数最值问题，不仅有利于强化对三角函数基础知识的掌握，也有利于提升三角函数知识的应用能力，实现数学这一科目的学习价值。

一、有效求解三角函数最值问题的前提——扎实基础知识

由三角函数最值问题的习题练习与数学试题考核可知，三角函数最值问题的有效解决，离不开三角函数基础知识的有效掌握与准确应用。因此，在日常学习中应注重基础知识的扎实掌握。在此过程中，建议从以下几方面入手，进行基础知识，包括三角函数定义、三角函数基本性质（如正弦函数性质、函数最值点、函数奇偶性、对称性、图像规律等）、三角函数公式（如余弦与正切公式、半角公式、两角和公式、倍角公式）以及各类型函数之间的强化记忆、掌握与应用[1]。

首先，认知自主学习的重要性，树立自主学习意识。只有主动参与到数学教学活动中，感知数学学习乐趣并养成良好的数学学习习惯才能实现学习效率的提升。在此过程中，建议通过参加数学学习兴趣小组或做具有趣味性的三角函数最值问题习题，进行自身数学学习兴趣的培养与提升。

其次，以课本为基础进行课堂知识的有效预习与复习。例如，通过课前预习，将课本中存在疑问的知识进行标记，通过网上查询或课堂听讲与讨论，找到问题的答案，强化对课本知识的深化理解；在课后复习过程中，针对自身课堂学习情况，结合教学重点、难点等知识进行有针对性的复习与练习，实现知识的进一步内化。与此同时，可根据自身情况，适当的应用小技巧进行三角函数最值问题及其相关知识的学习。例如，利用“便利贴”进行三角函数基础知识的反复记忆；利用“笔记”对日常学习中遇到的重点题型、具有代表性的典型体系以及日常考试出现错误的习题进行记录，通过反复理解与再次解答，提升解题能力；利用“思维导图”法，对所学基础知识进行连接，构建属于自己的思维导图，强化知识的理解与记忆。

此外，注重课堂学习效率，强化课外训练。以认真、负责、仔细的态度对待课堂教学，紧跟教师教学进度并积极参与到课堂讨论中，可取得事半功倍的学习效果。同时，针对自身三角函数最值问题解题中存在的问题进行反复训练，制定适宜自己的学习计划，从而改善自身解题中存在的不足。

二、有效求解三角函数最值问题的策略——灵活应用解题方法

（一）形如y=asinx+b或y=acosx+b（a不等于0）三角函数最值问题的解题策略

在求解y=asinx+b或y=acosx+b（a不等于0）三角函数最值问题时，通常可根据三角函数有界性特征，进行转换[2]。如将y=asinx+b转换为sinx=y-b/a的形式，根据|sinx| 1，得出b-|a|≦b+|a|的结论，最终求解“y=asinx+b”三角函数的最大值为b+|a|，最小值为b-|a|。

（二）形如y=asnix+bcosx+c三角函数最值问题的解题策略

在求解y=asnix+b cosx+c三角函数最值问题时，通常可根据三角函数辅助角公式“asnix+bcosx= sin（x+e）”（e表示辅助角）将三角函数进行处理，转化为同名函数，即y=a sni（x+e）+b的形式，本根据正弦三角函数的有界性|sni（x+e）| 1或三角函数自变量单调性特征进行求解。

例如，已知y=a snix+b cosx+3，x∈[- ， ]的最大值与最小值。

解：y=a snix+b cosx+3= （ sinx+ cosx）+3= sin（x+ ）+3

由- ≦ x≦ 可知 ≦ ≦

根据正弦函数在[0， ]的单调性可知，y=a snix+b cosx+3的最大值为 ，y=a snix+b cosx+3最小值为 。

（三）形如 或 分子与分母同名三角函数最值问题的求解

解题策略一：根据三角函数的有界性进行求解，即在求解 类型题时，将sinx用y进行表示，形成

的形式，根据|sinx|≦1进行解答三角函数最值问题。

解题策略二：同样以 为例，利用三角函数倍角公式、万能公式后或者是基本公式进行简化处理，形成二次函数，解答三角函数最值问题。即将 转换为

并在此基础上，用分子分母同时除以cos2 x/2，得到 ，用t表示tanx/2将三角函数函数转化为二次函数：y=（bt2+2at+b）/（dt2+2ct+d），整理后得出（dy-b）t2+（2cy-2a）t+dy-b=0，当dy-b不等于零时，则有y不等于b/d，所得一元二次方程有解，因此Δ=（2ct-2a）2-4（dy-b）2≧0，故（c2-d2）y2+2（bd-ac）y+a2-b2 0，从而得出三角函数最值[min（y1-y2），max（y1+y2）]。

三、结论

总而言之，掌握三角函数最值问题的解题策略对提高数学学习效率及成绩具有重要的现实意义。三角函数最值问题涉及内容丰富，其解题的技巧性相对较高，要求学生具备较强的逻辑思维与发散性思维。因此，在日常学习中，应注重三角函数基础知识的准确掌握，注重解题经验的总结，善于针对问题进行联想与多角度、多方向思考，从而提升自身的解题能力。

参考文献：

[1]辛星.高中數学学习中函数最值的问题求解方法分析[J].科技风，2017（03）：266.

[2]凌广燕.浅析三角函数最值在解题中的理论与实践思考[J].科技风，2014（21）：183.

[3]张建禄.六种求三角函数最值的思维方法[J].科教导刊（上旬刊），2014（02）：185-186.