细节处窥见本质理解——以“函数的表示方法”教学为例

◎吕小燕

(江苏省南京市临江高级中学，江苏 南京 211100)

“函数的表示方法”第一课时，高中数学教材苏教版必修一共介绍了三种表示方法(列表法、图像法、解析式法)和两道例题.学生在初中已经接触过函数的三种表示方法，那么进入高中，“函数的表示方法”究竟还有什么可教的呢？怎样教呢？学生理解这三种表示方法，会做这两道例题，并不是难事.但是，如果站在深度学习、本质理解的角度思考，“简单的内容”教学并不简单：函数还有其他的表示方法吗?这三种表示方法各有什么优缺点?它们之间能相互表示吗?怎么求函数的解析式呢？本节内容的学习能渗透哪些数学思想方法?能培养学生的哪些数学技能？

笔者认为，“函数的表示方法”教学，应着眼于学生在初中阶段与高中阶段认知上的“落差”，精心设计典型素材，充分暴露学生的思维错误或障碍，自然激发学生的思维冲突，立足于让学生亲历尝试、对比、说理、辨析、领悟的过程，以完善自己对函数概念的认知、提高自己的数学能力.现将笔者上课的主要环节概述如下：

细节1 帮助学生理解函数表示中定义域的“不可或缺”，从整体上把握函数的三要素.

例1某种饮料单价是2元/听，购买x(x∈{1，2，3，4，})听这种饮料需要y元，你能用初中学过的方法表示函数y=f(x)吗？

从实际情况来看，对于解析法，很多学生此时并没有意识到要在表达式y=2x的后面注明定义域；对于图像法，也有不少学生很自然地将描出的点连成了直线.对此，笔者并没有匆忙给出结论，而是针对不同做法之间的区别，引导学生进行他评、自评并说明理由，使学生领悟到：定义域与对应关系是一个整体，构成了函数的“左膀右臂”，切不可“厚此薄彼”.

接着给出下面两个变式：

变式1 设某种食品的单价是2元/千克，买x(x∈(1，4])千克这种食品需要y元，若用上述三种方法表示函数y=f(x)，结果有什么不同吗？为什么？

变式2 设某种食品的单价是2元/千克，买x千克这种食品需要y元，若用上述三种方法表示函数y=f(x)，结果有什么不同吗？为什么？

这里，仍是由学生独立作答，教师组织评价，以进一步强化学生的“定义域意识”.同时回顾了函数的三要素，进一步揭示了同一函数的概念.

细节2 感受函数表示中对应关系的“不拘一格”，正确认识分段函数.

图1

例2根据函数图像写出函数的解析式.

分段函数是本节课的难点，对基础较差的学生来说尤为如此.在巡视交流时，教师发现，绝大多数学生对题意理解不成问题，但还是出现了不少错误.

基于此，提出了以下问题串：

问题(1)：该图像对应几个函数？函数的定义域是什么？

问题(2)：x取0时相应的y值是多少？有几个？

问题(3)：x在哪个范围内取值时，y=2？

最后总结得出：“分段函数，分而治之；合中有分，分中有合”.

细节3 理解函数概念，体会抽象函数解析式的求法.

本环节设置了两道练习：

(1)已知f(x)=2x+1，求f(3x+1)；

(2)已知f(3x+1)=6x，求f(x).

从课堂观察来看，第一问学生回答得较为顺利并总结出方法代入.但是当把第二问呈现出来时，则遇到了一些“障碍”，学生感到很困惑，教室里甚至出现了一些争执的声音.从这里也可以看出学生的第一问也只是会而不懂.

图2

教师绘制了图2，引导学生分别指出第一问的输入值，对应法则，输出值.学生理解了第一问的题意，即已知输入值和对应法则，求输出值.从而学生类比得出第二问是已知输入值3x+1，输出值6x，反过来求对应法则.

基于本节课的教学，不禁反思如何抓住课堂细节，引导学生深化理解数学的本质，提升思维品质.

一、捕捉课堂教学契机，巧妙引导

其实民主的课堂经常会出现学生提出问题的现象，那是由于他们在学习中产生了新旧经验间的矛盾冲突，这反映出学生正在积极思考.尤其是学生在自主学习、合作讨论、互动对话后提出的问题更反映出其由表及里、由浅入深的学习状态.这时产生的问题往往更具动态性、深刻性和创新性，是非常珍贵的课堂动态资源.面对这样意外的细节我们要敏锐地发现其中蕴含的教学价值，接住学生抛来的球，随机调整思路并积极引导学生展开探究，再把球抛给学生，创设激发学生求知欲的境界，挖掘出绝妙的教学契机，从而生成新的教学过程.

二、捕捉学生意外错误，提炼顿悟

学生在学习过程中发生的种种错误教师是难以一一预测的.教师不能为执行教案而按部就班，必须对学生这些认知错误现场做出价值判断并决定如何进行纠错，生成有效的教学资源.新课程背景下的学生无疑是学习和发展的主体，激发他们的主动意识和进取精神显得尤为重要.教师不再是课堂的主角、控制者，而是课堂资源的重组者、动态生成的推进者.因此，当学生答问错误时，教师既不能奉送“真理”也不能听之任之，而应该利用学生错误中的可利用因素或追问暗示，引导学生发现错误及时纠正，即以学生错误答案为前提，推衍出荒谬的结论，让学生在前因后果的矛盾中顿悟，那么即使是错误也变得异常美丽.

三、及时调整教学思路，突破常规

学生已有的知识也是阻碍学生思维发展的一个因素，因为学生觉得自己已经掌握但是是否真的懂了呢.古语云：“学起于思，思源于疑”.教学中，根据学生的实际情况，有计划有针对性地提出有一定思考量的问题，诱发学生思考的热情，激发学生旺盛的求知欲望，启迪学生的思维，使学生主动地分析问题、解决问题，让学生的思维更加深刻，形成他们新的能力！

课堂教学中的细节时刻都在发生、发展和变化着，如果在细节发生的瞬间，教师能敏锐地捕捉并发现它们的价值，巧妙点拨，适当鼓励，合理引申，便能窥见本质，从而提升学生的思维品质.