APP下载

积分求解与几何之间的关系

2018-03-23赵一珺

数学学习与研究 2018年6期
关键词:曲边中学数学梯形

◎赵一珺

(长沙市长郡中学,湖南 长沙 410002)

积分思想出现在求面积、体积等问题中,在古中国、古希腊、古巴比伦、古埃及的早期数学文献中都涉及了这类问题的思想和方法.如,古希腊的阿基米德(公元前287—前212年)用边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积,称为“穷竭法”.中国魏晋时代的刘徽在其《九章算术注》(公元263年)中,对于计算圆面积提出了著名的“割圆术”,他解释说:“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”这些都是原始的积分思想.

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念.通常分为定积分和不定积分两种.直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值).

一、定积分与面积

可以抽象出积分的原型为求解曲边梯形的面积.

曲边梯形由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0),x轴与两条直线x=a,x=b所围成.

曲边梯形的面积的解决思路:利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时,可概括为“分割—取近似—求和—取极限”的步骤.

第一步:分割.将曲边梯形的底,即[a,b]进行分割(用垂直于x轴的直线),记Δxi=xi-xi-1.

第二步:取近似.取出典型小区域,用矩形面积近似曲边梯形面积ΔSi=f(ξi)Δxi.

第三步:求和.将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似,并将所有的小矩形面积加起来.

第四步:取极限.当对曲边梯形底的分割越来越细时,矩形面积之和越近似于曲边梯形面积.

曲边梯形面积的近似值为

当分割无限增加,即小区间的最大长度λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}趋近于零(λ→0)时,曲边梯形的面积为

二、积分几何意义的运用

由积分的计算过程可以得知,积分的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a,x=b之间的各部分面积代数和,在x轴上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号.

下面利用定积分的几何意义来求解问题.

解由定积分的几何意义得:求函数积分即为求该函数在[0,1]上f(x)与x轴所围成的面积,如图所示.求解面积即可.

在不等式的证明中,可以根据不等式中函数的特点,结合积分的几何意义,解决证明问题.

[1]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京:北京大学出版社,2002:332.

[2]王志超.高等数学轻松学[M].北京:北京航空航天大学出版社,2015:109.

[3]郭镜明,韩云瑞,章栋恩,等.美国微积分教材精粹选编[M].北京:高等教育出版社,2012:123-126.

[4]王建娥.定积分的几何意义在中学数学中的应用[J].福建中学数学,2010(12):14-15.

[5]吴赣昌.高等数学[M].北京:中国人民大学出版社,2009:152-153.

[6]刘兴薇.关于定积分概念和性质的应用研究[J].科技资讯,2013(25):208-210

[7]郑玉军.定积分中两个公式的推广与应用[J].湖南科技学院学报,2015(5):25-27.

[8]罗威.定积分计算中的若干技巧[J].沈阳师范大学学报:自然科学版,2010(2):165-168.

猜你喜欢

曲边中学数学梯形
玩转梯形
《上海中学数学》2022年征订启示
《上海中学数学》2022年征订启示
《上海中学数学》2022年征订启示
《上海中学数学》2022年征订启示
凹角区域泊松方程边值问题的CEFE与NBE耦合法求解*
梯形达人
一类变延迟中立型微分方程梯形方法的渐近估计
梯形
在数学教学中使用导学案教学心得体会