发挥变式功能 关注学生发展

葛新燕 张 俊

江苏省兴化市第一中学 (225700)

变式教学是我国一种典型的、传统的教学方式，被广大数学教师自觉或不自觉地应用于自己的课堂教学中．在日常听课中，笔者发现不少教师运用变式进行教学时，缺乏目标导向，纯粹为了变式而变式，导致教学效果低下，不利于学生的发展和教学效益的提高．

促进学生的发展是教学的最终旨归，因此，引入变式实施教学同样需要考虑该变式能否促进学生的发展．为了实现变式促进学生发展的功能，对于数学学科而言，它必须有助于学生掌握数学基础知识、优化思维品质、提高数学探究能力．离开了这些，侈谈变式教学是否有效只是空谈．

1.有助于学生掌握数学基础知识

数学是科学的语言，以抽象著称于世．可以说，抽象成就了数学，却也因此使很多学生望而生畏，谈之色变．很多时候，学生由于掌握不了数学基础知识而导致丧失继续学习数学的兴趣．对于数学教学中的一些重点、难点、易错点，借助变式，帮助学生理解是一种行之有效的手段．评价变式教学，也应该考虑其是否有助于学生掌握数学基础知识．

案例1 已知函数y=f(1+x)的定义域为[0,1]，试求函数y=f(1-x)的定义域．

解：因为y=f(1+x)的定义域为[0,1]，所以1≤1+x≤2，所以y=f(x)的定义域为[1,2]．由1≤1-x≤2,得-1≤x≤0，所以函数y=f(1-x)的定义域为[-1,0]．

对于很多高一学生而言，这类习题是一道难以逾越的障碍，很多学生越不过这道坎．教师虽然讲得天花乱坠，但学生就是迷惑为什么要这样做的根由，只能靠死记硬背，机械的“掌握”这类问题的方法，但在心灵深处留下的却是恐惧数学的阴影．因此，不让学生从本源上理解上述解法的本质，无法让学生从“惑”中走出来，这对日后数学学习产生的负面影响将是深远的．

充分发挥变式的作用和功能，从学生熟悉的问题出发，搭建思维扶梯，逐层深入，是可以突破这一教师教学、学生学习中的难点的．

变式3 已知函数y=f(x)的定义域为[0,1]，试求函数y=f(1-x)的定义域．

变式4 已知函数y=f(1+x)的定义域为[0,1]，试求函数y=f(x)的定义域．

以上4个变式的解决过程，从易到难，从形象到抽象，为原题的理解做了足够的铺垫，这时再出示原题，问题解决已是水到渠成．“为理解而教”，应是数学教师矢志不渝的追求目标．为了进一步深化学生的理解，根据学生的接受情况可酌情再提出以下变式题供学生思考．

变式5 已知函数y=f(x)的定义域为[0,1]，试求函数y=f(1-x)+f(1+x)的定义域．

变式6 已知函数y=f(1+x)的定义域为[0,1]，试求函数y=f(1-x)+f(1+x)的定义域．

变式1 求和：2+22+23+…+2n．

变式2 求和：1+2+22+23+…+2n．

变式3 求和：a+a2+a3+…+an．

变式4 求和：1+a+a2+a3+…+an.

通过变式，展现公式使用的前提，公式成立的依附条件，在逐层深入中，培养学生学会辨析与公式有关的判断和运用．

2.有助于优化学生数学思维品质

数学教学的重要目的在于培养学生的数学思维能力，而数学思维能力又反映在通常所说的思维品质上．思维品质是评价和衡量学生思维优劣的重要标志，因此，变式教学中必须要重视优化学生思维品质．

思维品质主要表现在五个方面：思维的广阔性、思维的深刻性、思维的灵活性、思维的批判性、思维的独创性．在教学中，需要引入变式时，教师必须要考虑其是否有助于学生思维品质的优化，或有目的的设计优化学生思维品质的变式．

思维的广阔性表现在能多方面、多角度的去思考问题，善于发现事物之间多方面的联系，找到多种解决问题的方法，并能将它推广到相似的问题中去．思维的广阔性不仅仅停留在问题的多解上，还表现在能否提出类似的问题，能否将结论一般化等．

为了培养学生思维的广阔性，可以从以下几个方面着手展开变式教学：

①研究这个问题的多种解法

②引导学生提出类似的问题

③引导学生思考结论的拓展变式

案例4 在正、余弦定理章节部分，经常遇到如下习题：在ΔABC中，sinA>sinB．

为了培养学生思维的批判性、深刻性，可提出如下有效变式：

变式1 在ΔABC中，是否cosA>cosB成立？

变式2 在ΔABC中，是否tanA>tanB成立？

变式3 在ΔABC和ΔA′B′C′中，若sinA=sinA′且sinB=sinB′，是否有A=A′,B=B′成立？

变式4 在ΔABC和ΔA′B′C′中，若sinA=sinA′且sinB=sinB′，sinC=sinC′是否有A=A′,B=B′,C=C′成立？

变式5 在ΔABC和ΔA′B′C′中，若sinA>sinA′且sinB>sinB′，是否有A>A′,B>B′成立？

变式6 在ΔABC和ΔA′B′C′中，若sinA>sinA′且sinB>sinB′，sinC>sinC′是否有A>A′,B>B′,C>C′成立？

3.有助于提高学生数学探究能力

数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式．数学探究即数学探究性课题学习，是指学生在教师的指导下围绕某个数学问题，合作交流、深入探索、主动学习、获得提高的过程．变式教学在提高学生的探究能力方面有着得天独厚的优势，因此教学中应力图展现这一优势．

案例5 若函数f(x)为可导的奇函数，求证：f′(x)为偶函数．

对于这一问题，教师可创设开放的教学环境，通过有效变式，引领学生积极思考、主动探索，在情感投入中获得发展，智力探险中提高能力．

变式1 若函数f(x)为可导的偶函数，问f′(x)是否为奇函数？

奇函数图像是关于原点中心对称的，将其推广，自然会考虑：如果可导函数f(x)的图像关于点(a,0)中心对称，那么又会有什么结论呢？

变式2 若可导函数f(x)的图像关于点(a,0)中心对称，试探索函数f′(x)的图像的对称性．

变式3 若可导函数f(x)的图像关于x=a轴对称，试探索函数f′(x)的图像的对称性．

变式4 若可导函数f(x)的图像关于点(a,b)中心对称，试探索函数f′(x)的图像的对称性．

变式5 你还可以探索出什么样的结论？

案例6 在学习了椭圆的第一定义后，为了提高学生探究意识，提升探究性能力，可提出如下变式：

变式1 平面内，到两定点之和等于定长的动点的轨迹是什么？

变式2 空间内，到两定点之和等于定长(定长大于两定点之和)的动点的轨迹是什么？

变式3 平面内，到两定点之差等于定长的动点的轨迹是什么？

变式4 平面内，到两定点之积等于定长的动点的轨迹是什么？

变式5 你还能提出类似的问题吗？

在学习椭圆的第二定义后，可继续引入如下变式：

变式6 平面内，到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之和等于定值的动点的轨迹是什么？

变式7 你还能提出什么样的问题呢？

以上两个案例，基于最基础的知识点，有效地运用了变式教学的方式，将学生思维带到一片未开发的地带，既激发了他们对知识的兴趣，唤起了潜在的好奇心，更在润物无声中培养了他们探索未知的能力．这对学生未来的成长，无疑是非常有益的．

教育的对象是人，变式教学作为一种有意义的教学方式，同样应该将人的发展排在首位．只要我们心有学生，我们一定可以借助变式这一教学法宝，帮助学生飞得更高更远．

[1]鲍建生,黄金荣,易凌峰,顾泠沅．变式教学研究[J]．数学教学,2003(2)．

[2]张乃贵,张俊．基于“问题解决”的一次数学探究性学习[J]．中国数学教育(高中版)，2014(6)．

[3]张俊．基于变式培养学生的问题意识[J]．数学通讯，2015(8)．