重要不等式在初中联赛题中的应用

林秋林

厦门大学附属实验中学 (363123)

1.求最值

例1 已知非负实数x,y,z满足x+y+z=1，则t=2xy+yz+2zx的最大值为( )．

(2014年全国初中数学联赛试题)

例2 若实数x,y满足x3+y3+3xy=1，则x2+y2的最小值为__________．(2017年全国初中数学联赛试题)

例3 已知实数x,y满足关系式xy-x-y=1，则x2+y2的最小值为( )．

(2015年全国初中数学联赛试题)

2．限定范围求值

例4 已知正整数a,b,c满足：1

(2014年全国初中数学联赛试题)

解析：不妨设(a,c)=d，其中a=da1,c=dc1且(a1,c1)=1．则由b2=ac=d2a1c1，可知d2|b2，即d|b．故设b=db1，从而b1=a1c1．又由a+b+c=111，可得d(a1+b1+c1)=111．故d|111，易知a1+b1+c1>3，于是d=1或d=3．

此时a=m2=1与a>1矛盾，舍去；解一元二次方程x2-12x+33=0，可知其无整数根，故舍去．

例5 已知实数a,b,c,d满足2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6，求(a2+b2)(c2+d2)的值．

(2013年全国初中数学联赛试题)