n取(n-k+1)系统条件平均剩余寿命的一些性质

温九红， 张正成， 强玉霞

(兰州交通大学 数理学院,甘肃 兰州 730070)

所谓n取(n-k+1)系统是指有n个元件构成的系统中，系统要正常工作当且仅当至少有n-k+1个元件正常工作。设X1,X2,…,Xn为n个独立同分布的元件寿命,其构成的系统的寿命记为T,X1:n,X2:n,…,Xnn为X1,X2,…,Xn对应的由小到大排列的顺序统计量，则Xkn恰好为n取(n-k+1)系统的寿命。在可靠性理论和生存理论中，系统的剩余寿命问题是一类特别重要的问题，在过去的几十年中，已经有许多学者对其做了大量研究，例如Asadi[5]研究了由n个独立同分布元件构成的n取n-k+1系统在时刻t没有元件失效的平均剩余寿命，即E(Xk:n-t|X1:n>t)；Li[7]等研究了n中取(n-k+1)系统在时刻t失效的元件不大于l(1≤lt)。考虑在时刻t至少j有个元件失效的条件下n中取(n-k+1)系统仍在工作时的剩余寿命，即(Xk:n-t|Xj:n

1 相关概念和定义

(X-t|X>t)。

对任意的x>0，其可靠性函数为

那么，平均剩余寿命为

定义1X称之为IFR(失效率递增)，如果其失效率

关于t≥0递增。

2 主要结论

R(x|t)=P(Xk:n-t>x|Xj:n

(1)

(2)

例1 令X1,X2,…，Xn相互独立且同分布于一般Pareto分布，其可靠函数为

图1 例1中的平均剩余寿命函数

因此根据(1)式有

定理1假设n中取(n-k+1)系统中的元件都有绝对连续的分布函数F且分布函数F在(0,∞)严格递增，则分布函数F可以表示为

证明对(1)式的两边分别对t求导则有

(3)

其中pl(t)在定理1中已给出。根据Goliforushani和Balakrishnan(2012)[8]有

根据Asadi 和Bayramoglu(2006)[3]可知

1003 大动脉粥样硬化与心源性栓塞大脑中动脉 M1 段闭塞急性缺血性脑卒中血管内治疗单中心回顾性分析 常晓赞，张 磊，李子付，许 奕，黄清海，刘建民，杨鹏飞，洪 波

另一方面

把A和B带入(3)式中得到

其中φ-1(t)lpl(t)-(n-l+1)pl-1(t)=0，因此

这也蕴含着

经过一些计算后得到

等价于

(4)

其中(4)式中的第一部分等于0，现只需证明(4)式中第二部分小于等于0即可。

根据Asadi 和Bayramoglu(2006)[3]可知E(Xk:n-t|X1:n>t)>E(Xk-1:n-1-t|X1:n-1>t),因此当j≤l时有E(Xk-l:n-l-t|X1:n-l>t)≥E(Xk-j:n-j-t|X1:n-j>t)。故(4)式中的第二部分为负，得证。

证明根据(1)式有

图2 例2中的平均剩余寿命函数

(5)

(6)

例2 令n中取n-k+1系统中的元件服从韦伯尔分布，其可靠函数为

当α=2,β=1时r(t)=2t，显然r(t)关于t单调递增。根据(1)式有

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