化归思想在当前初中数学教学过程中的运用

鲁锦洪

【摘要】化归思想以“同质转化”为基础，其核心在于剥离形式差异表象而获取同质内涵.化归思想在数学领域被评价为基础思想，在数学学习与应用中发挥重要作用.初中数学重视学生基础知识与学生学习兴趣的培养，在教学过程中引入化归思想不仅能促进学生学习数学基础知识，同时能激发学生的学习兴趣.本次研究以化归思想在初中数学教学中的应用为研究视角，在綜合分析化归思想与初中数学教学的基础上，归纳具体应用方法，以期为完善初中数学教学做出理论贡献.

【关键词】化归思想；初中数学；基础教育

教育改革强调：摒弃应试教育的弊端，提升学生综合素质.而数学作为基础教学的核心课程，不仅应发挥其传递基础知识的功能，同时应发挥其蕴含的逻辑培育、思维培育等功能，促进学生全面发展[1].化归思想是重要的数学思想，其核心在于剥离形式差异后获取同质内涵.在数学教育中引入化归思想不仅能促进学生学习数学，同时能激发学生的学习兴趣，提升学生综合素质.因此，本次研究选取化归思想引入初中数学教学为研究视角，在综合分析化归思想与初中数学教学的基础上，分析具体应用方法.

一、化归思想与初中数学教学

（一）化归思想

化归思想的核心为剥离形式差异表象而获得同质内涵，其建构基础为同质转化.化归思想被广泛应用于数学领域，被评价为数学的基础思想之一.化归思想具有四种具体应用方式，即化复杂为简单，化未知为已知，化实质为运用及化抽象为直观.在数学领域中，化归思想的具体应用方法主要包括：整体代入法、待定系数法、配方法等方法.

以鸡兔同笼为例阐述化归思想：当笼中共有头50个，足140只时，鸡兔各有几只？首先对问题中的已知条件进行化归变形，要求笼中的鸡独脚站立，笼中兔双脚站立，则问题变更为笼中头共50个，足共70只，此时鸡头、足数目相等，而兔的头、足数目不等.而每多一只兔则多一条腿，在兔的数目为70-50=20，鸡的数目为30.

（二）初中数学教学

初中数学教学以基础知识传授与数学兴趣培养为主要教学目的，而在具体的数学教学过程中，授课教师往往以应试为主要目的，注重于解题方法与技巧的传授.同时，采用题海战术提升学生的准确率，导致学生学习负担较重.加之数学学习难度较大，学生往往难以建立学习兴趣，部分学生甚至产生了厌学的情绪[2].初中数学教学应注重数学思维的培养，将数学思想方法传递给学生，使学生建立起关于数学体系，从根本上明确数学问题，从而促进学生学习基础知识，激发学生学习兴趣.

二、化归思想在初中数学教学中的应用

（一）化归思想的运用

化归思想的运用主要包括三部分内容，具体如下：

1.未知问题与已知问题的化归

将未知问题化归为已知问题是化归思想的主要运用方法.在初中数学中，未知问题与已知问题的化归主要表现在代数方程中.而在代数方程的解析中，化归思想也是基本求解思想[3].

以方程y=（x+n）2，y≥0为例.求解二元一次方程应首先对二元一次方程进行转化，即将未知知识转化为已知知识.求解这个二元一次方程，可采用开平方的方法，即变更（x+n）2为x+n，变更y为±y.则等式变更为±y=x+n，最后依据基本运算法则求解，即x=±y-n.若方程无法采用开平方的方法化归，还可以采用配方的方法进行处理.将含有未知数的方程部分变化为完全平方形式，置于方程左侧，将方程右侧变化为大于等于0的具体数字.其后对方程进行开方处理后，对方程进行因式分解.最后分别计算求解.

同时，未知问题的化归在几何领域也有广泛应用.以梯形为例：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线相交于点O且相互垂直.AD=3，BC=5，求AC的长.上述问题的核心为梯形对角线垂直，即AC⊥BD.利用已知进行化归，当梯形的对角线相互垂直时，可判断梯形为等腰梯形，以等腰梯形对角线的交叉点所组成的两个三角形为等腰三角形，即△AOD与△BOC为等腰三角形.又因梯形对角线垂直，所以△AOD与△BOC为等腰直角三角形，则BO=CO，AO=DO.因AC=3，BC=5，则AO2+DO2=BC3，CO2+BO2=52，则AO=BO=42.

2.新问题与旧问题的化归

解决数学问题最快、最有效的方法就是，将陌生的新问题化为比较熟练的旧问题，进而在娴熟掌握旧问题的基础上快速处理新问题.例如，在解决二次方程计算问题的过程中，教师可以利用降次法，指导学生将二次方程化归为学生比较熟练掌握的一次方程；在解决三元一次方程组或二元一次方程组计算问题的过程中，教师可运用消元法，指导学生将方程组化归为二元一次方程组或一元一次方程，将分式方程转化为整式方程；在解决多边形内角和的计算问题过程中，教师可运用求三角形内角和的方法，指导学生将多边形拆分为多个三角形，进而进行内角和的计算.新问题化归为旧问题方法的优势在于拓宽学生解题的方法和思维，有利于学生提高解题效率和准确率.

3.一般问题与特殊问题的化归

一般问题与特殊问题的化归方法在数学教学方法中较为常见.一般问题与特殊问题的化归方法可理解为，在解决数学问题中首先解决具有特殊性质的问题，其次运用恰当的方法，将一般问题转化能够应用于特殊情况的问题.在初中数学教材中，运用此方法解决问题的例题比比皆是.本研究以证明圆周角定理的例题为例，虽然证明情况分为三种，但是教师可以选择最具有特殊性的情况先行证明，比如，首先，证明圆心在圆周角的一条边时的定理能否成立；其次，对圆心角在内部及外部的情况进行证明；最后，通过对证明的结果进行归纳整理后，提出结论.又如，选择一正方形PQRS，其两条对角线在Z点相交，但Z点同时也是另一正方形UVWZ的顶点之一，此外正方形PQRS与正方形UVWZ的边长相等.与此同时，正方形UVWZ绕着Z点转动，教师需要带领学生一起对正方形PQRS与正方形UVWZ所重叠部分的面积进行详细观察，并观察其变化情况，若有所变化，应查找变化的原因；若未出现变化，则可求出重叠面积.根据题意和正方形面积，教师与学生可知正方形PQRS与正方形UVWZ所重叠的形状不定，可能是四边形或三角形，因而，在无形中增加了题目的难度.因此，教师在此题目的教学中应对重叠位置的特殊情况加以考虑，在计算后可知，重叠位置的面积是正方形面积的四分之一.若证明出特殊情况的重叠面积与重叠部分的四边形的面积相等，则此问题可以解决.对于此题目，割补法是最快、最有效的解题方法.

（二）化归思想的具体应用方法

1.夯实基础知识

教师在教学中对化归目标追求的前提一定是注重数学基础知识的教学.数学基础知识即数学问题的基本概念、基本公式、基本解题方法等.从另一种意义来讲，初中数学最重要的教学问题就是向学生展示数学模型，并教会学生在解决数学问题中建立数学模型，并在解决实际问题的过程中灵活地转化与化归这些模型.学生在娴熟掌握数学基础知识的前提下，对化归方向的发现与把握自然也很轻松.因此，教师必须在教学过程中帮助学生建构完整化的、系统化的数学知识体系[4].例如，在一个单元结束后，教师帮助学生建构完整的数学知识结构图，使学生对该单元产生比较系统性的认识.此外，教师应在学生做题中，帮助学生积累做题经验，为日后做题打下基础.

2.建立化归思想

在数学知识学习的过程中，许多数学知识具有较强的联系，因此，教师可指导学生在做题的过程中充分运用这种知识的联系，并转化其中的问题，将问题化难为易，化整为零.在具体建立过程中应将生活与教学相融合，使学生在生活中体会化归思想，促进学生学习.

三、总 结

本次研究以化归思想的初中数学教学应用为研究视角，在综合分析化归思想与初中数学教学的基础上，归纳具体应用方法，包括：未知问题与已知问题的化归，新问题与旧问题的化归及一般问题与特殊问题的化归.而关于这一问题还存有广泛的研究空间，如化归思想与其他数学思想在初中数学教学中的结合应用，或化归思想与其他数学思想的对比等.

【参考文献】

[1]王燕荣，韩龙淑，屈俊.基于启发式教学的数学思想教学设计——以“化归思想”为例[J].教学与管理，2015（1）：57-59.

[2]胡先富.化归思想在数学教学中的应用[J].教学与管理，2015（27）：81-83.

[3]张玉娜.化归思想在中学数学教学中应用简析[J].教育科学：全文版，2016（11）：132.

[4]夏雪峰.化归思想在初中数学教学过程中的应用[J].数理化解题研究：初中版，2015（8）：5.