高中三角函数学习策略浅议

刘益宁

（青岛西海岸新区第三高级中学，山东 青岛）

作为高中数学知识的重要内容之一，三角函数的学习既是重点也是难点。一方面，由于其概念和定义的高度抽象性以及公式运用的繁杂性，不少同学在理解和运用上面存在障碍，尤其对于诱导公式运用和转换，记忆不清，时常混淆；另一方面，三角函数与其他知识板块联系紧密，迁移范围广，几乎有渗透到高中整个数学学科的趋势，而有不少学生往往在题目情境中想不到该用三角函数，一些同学虽能想到，却又不知道该用哪种。以下，笔者结合个人学习体会，针对高中三角函数的学习谈几点策略性意见，希望对高中同学有所助益。

一、明确思维主线，扎实知识基础

任何知识要想学好用好，掌握到位，理清思路和打牢基础都是必不可少的，也是最为关键的，鉴于三角函数概念抽象、公式繁多、不易全面深入掌握的特点，打基础的工作就更显得尤为重要。这方面，笔者曾根据三角函数课程特点总结出“三个知识模块”“一条思维主线”，以方便理解和记忆。现浅示如下：

1.三个知识模块

正弦、余弦、正切是三角函数的三个基本定义，同角三角函数的基本关系则主要是sin2α+cos2α=1，在学习时只要掌握这两个基本点并能灵活运用，就可以演化出一些包含基础知识运用的代表性题型让学生牢记和掌握，这样学生也就基本全面地掌握了三角函数的基本知识，为以后的深入掌握奠定了基础。笔者习惯于按以下三个模块来划分：

①已知sinα或cosα，求其余的三角函数。注意：确定角的终边位置对求值是至关重要的，有时由于角的终边位置不确定，解的情况不止一种。

②在 sinα+cosα、sinα-cosα、sinα·cosα 三个项中，已知一个求其余两个。

③已知tanα或cotα，求其余的三角函数；并计算或化简分式为关于正余弦的一次或二次的齐次式。

2.一条思维主线

此处主要讲求任意角的基本思路。任意角的三角函数值可由诱导公式求得，从锐角到任意角，是特殊到一般的过程，那么我们求任意角的三角函数时就可以先把它转化为锐角，利用特殊来求一般。这是解题的思维线索，剩下的问题就是任意角转化为锐角的方式和过程。方式是：探究任意角的终边与锐角的终边的对称关系；过程是：由圆周的360°以内推广到360°以外。

以上即为三角函数的“三个知识模块”与“一条思维主线”，通过它们可以较好地简化知识网络，从整体上比较清晰地把握基本知识，并在此基础上强化理解和提高运用能力。当然，鉴于各人的学习情况和学习个性不同，读者也可以尝试总结和构建适合于个人的知识主干和知识网络。

二、掌握相关数学思想，提高实际解题能力

1.相关数学思想总结

数学思想是对解题思路的总结和升华，具有通用性和经典性。能否在解题过程中灵活运用数学思想，往往是顺利解题的关键，因为它可以将复杂繁琐的数学问题转化为我们所熟悉的数学模型。同时，数学思想的运用也是数学思维能力的一种反映，我们只有具备扎实的数学基础和较强的数学思维能力后，才能形成成熟的数学思想并灵活运用之。在高中阶段，常用的数学思想有数形结合思想、转化化归思想、分类讨论思想、极限思想、方程思想、换元思想等。大体而言，鉴于三角函数与其他知识板块联系紧密，迁移范围广，这些思想均可与之有机结合，形成一些综合性的题目。下面我们就以比较典型的数学结合思想和分类讨论思想为例来进行较为深入的探讨。

2.例谈数学思想的具体运用

我们知道，三角函数的大小随着角度参数的变化而呈现周期性的变化，在熟练掌握六种基本三角函数在其定义域内的对应图像的情况下，通过图像就可以明确判定出各个函数在不同定义域内的奇偶性、单调性，在此基础上，遇到判定弧度值对应的函数值大小这一类型的题目时往往可以一目了然地得到答案。此外，在遇到较为复杂的三角函数问题时，我们可以通过分析由基本三角函数 y=sinx拉伸、平移、压缩而得到的函数 y=Asinx（ωx+φ）（A＞0）的具体图像来解决，这也是数形结合思想在三角函数中的典型应用。至于分类讨论思想，其在三角函数中的应用也是频率很高的，最常见的情况就是：由于三角函数的正负和大小在一个周期内具有特定的规律性，因此在采用换元法解题时，得出最后结论后往往需要根据定义域情况进行分类讨论，即依据不同的定义域情况进行对应的分析。这一过程充分体现出分类讨论思想的重要性，在具体解题时我们应当充分意识到这一点。

综上所述，笔者结合自身的一些学习体会，针对高中三角函数的学习提出了一些个人看法，即首先需要扎实知识基础，理解“三个知识模块”和“一条思维主线”，在此基础上再掌握数形结合思想、分类讨论思想等相关数学思想的应用，以提高实际解题能力。鉴于三角函数在高中数学中占据的重要地位，我们在学习中不仅不可以掉以轻心，更要时常进行总结和反思，以便不断地增进理解和提高认识，在遇到该类题目中做到游刃有余。在此，愿与读者共勉之。