转化立体几何，等量考究体积

王小梅

[摘 要] 立体几何体积问题是高考的重点题型，对于该类问题可以采用特定的转化思想，例如等体积转化法，将几何体转变为较为熟悉的几何体，或者建立两者之间的体积关联，然后推理论证求解. 结合具体实例简要讲解等体积转化法求解几何体积的解法思路，并开展相应的教学反思.

[关键词] 立体几何；体积；等体积；转化

高考中的立体几何体积问题常因几何结构抽象复杂、求解条件隐含不足，造成学生思维受阻，难于直接求解. 转化法是一种重要的思想方法，对于该类问题有着良好的解题效果，合理运用可将问题简化处理.

真题解析，试题点评

1. 真题呈现

（2017年北京高考文科数学第18题）如图1所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

（Ⅰ）（Ⅱ）略；

（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.

2. 试题解析

分析：（Ⅲ） 求三棱锥E-BCD的体积，分析三棱锥P-ABC可知，PA⊥平面ABC，底面ABC为等腰直角三角形，求三棱锥P-ABC的体积较为容易，可尝试用等体积转化的方式，建立三棱锥E-BCD的体积和三棱锥P-ABC的体积上的数量关系，通过求P-ABC的体积来达到求解的目的.

解：由PA⊥ABPA⊥BC ，可知PA⊥平面ABC. 因为AB⊥BC，AB=BC，D为线段AC的中点，可知S△BCD=SABC. 因为PA∥平面BDE，PA？奂平面PAC，平面PAC∩平面BDE=DE，所以PA∥DE，进一步可知DE⊥平面ABC，DE=PA，所以VE-BCD=··=，则VE-BCD=.

3. 试题点评

本题为高考常见的求空间几何体的体积问题，主要考查学生的空间想象能力和数学转化方法的使用. 上述求解三棱锥的体积，因原几何体的底面积和高的求解条件不足，使用了等体积的转化法，建立起与形状较为特殊的几何体的体积关系，通过求该几何的体积达到间接求解的目的. 体积转化思想的利用降低了思维难度，使得问题变得直观易求，该思想方法对于求解几何体积问题有着良好的解题效果，可对其进行推广使用.

试题衔接，方法利用

上述考题采用的等体积转化法可用于求解条件不足、几何形状较为抽象的几何体积，等体积转化法使用的基本思路是：首先判断几何体的形状以及结构特征，同时对其进行底面和高的变换，或者建立与形状特殊几何体的体积关系，通过对转化后的几何体求解来实现问题的解答. 体积转化过程必须满足体积等量变化，体积关系准确无误.

试题1：如图2所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1-EDF的体积.

分析：如果直接求三棱锥D-EDF的体积就需要求得△EDF的面积和三棱锥的高，但两未知量均不容易求得，可尝试进行等体积转化，转化为求以F为顶点、△DD1E为底面的三棱锥，即VD1-EDF=VF-DD1E.

解：正方体的棱长为1，点E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则顶点F到平面DD1E的距离就为正方体的棱长，ΔDD1E的面积为：S△DD1E=DD1·AD=，所以VD1-EDF=VF-DD1E=.

试题2：（2016年全国卷Ⅲ文科数学第19题）如图3所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；

（Ⅱ）求四面体N-BCM的体积.

分析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）取PB中点Q，连接AQ，NQ，分析可知QN∥平面ABCD.求四面体N-BCM的体积，可进行等体积转化，VN-BCM=VQ-BCM. Q为PB的中点，点Q到底面ABCD为点P到底面距离的一半，进一步转化为VQ-BCM=VP-BCM. AD∥BC，则S△BCM=S△BCA，则VP-BCM=VP-BCA，从而可以得到VN-BCM=VP-BCA，由此求四面体P-BCA的体积较为容易.

解：（Ⅰ）略；（Ⅱ）如图4所示，因为Q，N分别为PB，PC的中点，则QN∥BC，BC？奂平面ABCD，所以QN∥平面ABCD，则VN-BCM=VQ-BCM=VP-BCM=VP-BCA，所以VN-BCM=×PA·S△ABC=.

上述兩道几何题的求解过程是对等体积转化思想的充分体现，试题1通过几何体的底面和高的同时转化实现了问题的求解；试题2则是充分利用几何性质，把握图形的面积关系，建立起与形状特殊、体积易得的几何体的体积关系，达到了体积转化，简化作答的目的. 三棱锥的体积公式V=Sh是求解的核心公式，灵活使用可辅助转化求解.

解后反思，教学思考

1. 立足公理，发展思维

立体几何是建立在公理推理、逻辑严密基础上的学科，是对数学逻辑科学严谨性的充分体现，立体几何的求解必须从特定范围内的基础真命题出发，逐步推演，合理考量.因此对于立体几何的学习必须立足公式定理，理解公理化思想，掌握几何基础知识，构建完整的知识体系. 在教学中教师要基于学生的已有知识，紧密围绕公理化思想开展几何教学，逐步引导学生形成合理推断、理性思考的学习习惯. 通过几何直观问题，动态想象的教学流程，培养学生探索分析、推理论证的数学思维，促进学生的几何直观想象能力的发展.

2. 学习思想，提升能力

数学的学习过程关键在于对数学思想方法的学习，数学思想是对数学知识的升华，也是解决数学问题的核心手段，它渗透在数学学习的全过程中，例如求几何问题涉及的转化法，是实现未知问题简单化的思想桥梁，是一种基本的数学思想. 理解把握好数学思想对于解决数学问题有着重要的意义，在教学中教师要从思想方法的本质出发，结合典型考题，引导学生掌握思想方法的解题思路和使用技巧，培养学生的解题思维，从思想上提升学生的解题能力.

3. 把握考题，探究学习

对于立体几何的习题课教学要充分利用高考真题，历年真题都是经过命题人细致斟酌、反复推敲后确定的，凝聚了众多命题者的智慧精华，对于学生的学习备考有着巨大的帮助. 教师在选题时要精选那些能够体现数学思想的特定问题，通过解题让学生理解掌握其中蕴含的思想方法，提升解题效率. 课堂教学应倡导探究论证的方式，充分调动学生的积极性，让学生充分参与教学活动，亲历教学过程，培养学生的自主探究能力.

结束语

数学的解题过程本质上就是不断简化的过程，对于立体几何的体积问题可以充分利用等体积转化法，准确把握几何性质，开展推理论证，使几何体积问题实现直接转化，以不变应万变的方式实现问题的完美解决. 在教学中教师要开展公理教学，帮助学生充分理解立体几何的公式定理，注重数学思想的渗透学习，结合考题，开展探究学习，培养学生解题思维，提升自主学习能力.endprint