数学“三角形”在高中物理解题中的应用

位志强

摘要：数学是物理学的根基，数学知识是解决物理问题的工具和途径，很多问题需要数学知识和物理思维的巧妙结合来解决。能够灵活应用数学知识处理物理问题也是新课标高考《考试大纲》中要求学生具备的五种能力之一，《考试大纲》要求学生具备根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论的能力；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。所以，高中物理教师在物理教学中除了要注重培养学生扎实的物理基础外，还要重视培养学生灵活、恰当地应用数学知识解决物理问题的能力。 “三角形”是数学中重要的几何知识，同时也在解决物理问题时有着广泛的应用；本文将梳理用“三角形”知识解决高中物理问题时的应用题型。

关键词： 动态矢量三角形 相似三角形 正弦定理

【中图分类号】G633.7

一、动态矢量三角形：高中学生在学习力的合成和分解时，一般都能掌握矢量运算的平行四边形法则，为了利于学生解题，高中教师也都还补充了矢量的三角形法则，虽然两者的基本原理是相同的，但学生对于矢量的三角形法则应用能力普遍比较弱。但是力学中的动态平衡问题，如果利用矢量三角形法则却能比较方便地解决此类问题。这种方法其实和所有解题方法一样，就是利用已知量、不变量及约束关系去求出未知量、变化量。该方法在解题过程中的关键还是利用好已知量和变化量及约束关系，并作出正确的受力分析图。当然，这里面也有一定的技巧问题。如下面例题：

例1： 竖直光滑墙壁上固定一条绳子，一小球用绳子系住并靠于墙上，如图（1-1）所示，当系小球的绳子在变长的过程中，繩子受到的拉力和球对墙的压力是如何变化的？

解析：这一类型的题目，学生做题时出现错误的概率往往是比较高的。解决此类问题的关键，还是如何找出条件中的不变量及约束，再辅助于作图。在分析此题的过程中，我们可以很明显地看到：在整个过程中，分析得出墙对球的支持力的方向不变，总是水平向右方向（此为约束），而且小球重力是不变的（此为不变量）。可先作出小球的–G（与重力等大反向），再作墙对球的支持力N1和绳对球的拉力N2的瞬时矢量图，如图（1-2）所示；三力的关系是N1和N2的矢量和应该等于–G。依题意可以知道，绳子在伸长的过程，实际上是–G和N2之间的夹角在变小的过程，由于物体的重力是不变的，且N1的方向不变，所以整个过程很容易知道两力均是变小的过程。

再如题目，

二、相似三角形法：

“相似三角形法”指的是在对物体进行受力分析（尤其是准平衡态，即动态平衡过程）时找到两个相似三角形，其中一个三角形的边长表示长度，另一个三角形的边长表示力的大小。利用相似三角形法可以判断某些力的变化情况。如以下题目：

例2：一个半径为 的半球形物体固定在水平地面上，球心的正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面 的距离为 ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图（2-1）所示，现缓慢地拉绳，使小球沿球面缓慢上升，在小球由 到 的过程中，半球对小球的支持力 和绳对小球的拉力 的大小变化的情况是（ ）

、 变大， 变小 、 变小， 变大

、 变小， 先变小后变大 、 不变， 变小

解析：如图（2-2）所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力 不变，支持力 ，绳子的拉力 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图2-2中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力 的大小和方向、绳子的拉力 的大小和方向，所以还要利用其它条件。实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图2-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：

可得： 运动过程中 变小， 变小。

运动中各量均为定值，支持力 不变。正确答案D。

三、正弦定理

正弦定理（拉密定理）内容：在一个三角形中，各边长和它所对角的正弦的比相等。即：

例3：两个可视为质点的小球a和b固定在轻质细杆两端，将其放置在一个光滑的半球面内，如图（3-1）所示。己知小球a和b的质量之比为 ：1，细杆长度与球面半径之比为 ：1。则两球均处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是（ ）

解析：根据题目中给出的数据可以知道，abO三点组成一个等腰直角三角形。故三角形两底角都为 。对两球进行受力分析，由于球面光滑，所以a、b两球都只受到3个力，如图（3-2）所示：两球各受重力、球面的支持力、 刚性细杆的弹力。由于是活动杆，所以杆对a、b两球的弹力都沿杆方向，并且对两球的弹力大小相等。a、b两球处于平衡状态时，两球受到的合力都为零。a、b两球受到的三个力都各自组成一个力的矢量三角形，然后由正弦定理列出等式。

对 球： ，对 球： ，所以： ，即 ，所以 。

所以答案D正确。

数学“三角形”在解中学物理习题时有其独特的魅力，不仅能使抽象的物理问题更形象、直观，求解过程简洁明了，而且还具有创新意识，对提高解题能力和发展求异思维无疑有很大的帮助。

参考文献： 陈庆威 《相似三角形在高中物理试题中的应用》

吴学红 《用数学知识解决物理问题》