基于Zenga指数的不平等测度研究

韩秀兰，杜宇君

(山西财经大学 a.统计学院；b.统计研究院，山西 太原 030006)

经济增长成果没有被平等享有，世界在变得更加不平等[1]133-136。不平等的恶化是导致社会、经济、甚至政治问题的根本原因，有关不平等的研究在国际上变得越来越重要。

不平等的量化是认识和对比不平等的基础，因此受到更多的关注。Cowell将不平等测度方法分为三类：一般统计描述法、分布模型法和不平等指数法[2]3-4。一般统计描述法包括图形法、离散指标法和排序法，该方法简单直观，但缺乏理论基础，不能对不平等进行深层次的分析；分布模型法由Pareto分布密度函数法开创性的研究所发起，该方法采用某种分布函数来近似实际分布，可观察收入分布中特殊位置的独特规律，要得到能精确代表实际分布的便捷而合理的分布模型，需要所分析变量分布一般模式的先验信息，因此该方法显得复杂；不平等指数法是根据一定的公理化性质要求构建的较系统的分析方法，这些性质要求使得不平等指数具有良好的测度特性，成为应用最广泛的收入不平等测度方法。

不平等指数法测度的一个重要问题是找到具有优良特性的度量以最佳方式检测不平等，在如此多的选择中如何找到适当的方法，有关学者已经做了相当多的努力。自Gini提出基尼系数后，众多学者基于不同的测度思想和政策理念构造了一系列新指数来测度不平等，这些指数主要包括Bonferroni指数(1930)、Vergottini指数(1940)、Schutz指数(1951)、Atkinson指数(1970)、泰尔指数(1973)、Zenga指数(2007)、Canberra(2012)指数等。如何从如此多的指数中筛选出更合理的不平等测度方法，取决于研究的目的和指数的性质。有些指数，比如基尼系数、基于社会福利函数的Atkinson指数、基于信息论的泰尔指数、简单直观的Schutz指数等已为大家所熟知[3]，实证应用很广泛。但这些指数比较陈旧，测度特性差，大都不满足强转移性和强分解性。不满足强转移性，则不能表达更多关注穷人的福利思想。不满足强分解性，相应的分解存在难以解释的余项，无法清晰认识不平等的来源和结构。不平等测度指数中的Zenga指数，除满足不平等指数通常所需的匿名性、齐次性、人口无关性、标准化、弱转移性、可分解性等特性外，还满足强转移性和加和分解性，具有比其它指数更多的优良特性，被称为是现代不平等测度中非常有见地的指数[4]，近年在国际上有大量的理论探讨和广泛的实证应用，但在国内却没有受到足够的重视。本文从与基尼系数对比的视角，对Zenga指数的不平等测度进行系统的研究。

一、Zenga指数

(一)符号定义

升序排列的非负收入*基于Cowell提出的可测性和可比性要求，y可以是收入、消费、资产、健康或社会资源等任意福利变量。集合：(0

收入集合对应的频数集合：(n1，n2，…，nh，…，nr)；

=N为总人口；

累积人口比例：ph=Ph/N；

h=N时，累积收入为总收入T(y)；

累积收入比例：L(Ph)=Qh(y)/T(y)；

总平均收入：μ=T(y)/N；

累积分布函数：F(y)。

(二)Zenga指数

收入集合中的每个取值yh都将总体分成较低收入组与较高收入组两部分。将较低收入组平均收入表示为：

(1)

相应的较高收入组平均收入为：

(2)

Zenga指数由点不平等指数加权平均得出，点不平等指数被定义为较高收入组平均收入和较低收入组平均收入的相对偏差[5]：

h=1，2，…，r

(3)

根据式(1)和式(2)及关系式L(Ph)=Qh(y)/T(y)，Zenga点不平等指数还可表示为：

(4)

Zenga总不平等指数被定义为所有点不平等指数的加权平均：

(5)

(6)

考虑Zenga指数的几何形式，Zenga指数可用Zenga不平等曲线与平等线(Z(p)=0的横线)间的面积来表示，见图1。

(7)

图1 Zenga曲线图

图2 洛伦兹曲线图

(三)基尼系数

将Zenga指数与基尼系数进行对比，需要以相对应的方式对基尼系数进行分析，这就涉及基尼系数的点不平等指数、总不平等指数及其图形表示。

基尼系数作为应用最多的不平等指数，考虑的是累积人口比例ph与累积收入比例L(ph)之间的相对差距，基尼提出的点不平等指数为[6]：

h=1，2，…，N

(8)

h=1，2，…，N

(9)

可见，基尼系数是将低收入群体的平均收入与总平均收入对比得出的。

基尼系数则是所有点不平等指数的平均：

h=1，2，…，N

(10)

基尼系数也可基于洛伦兹曲线给出定义，洛伦茨曲线L(p)=Q(y)/T(y)指累积百分比为p的群体拥有的收入占总收入的累积百分比(图2)，洛伦茨曲线总是位于对角线(图中450线)I(p)=p，p∈[0，1]之下，对角线是一条表示收入累积百分比等于人口累积百分比的完全平等的洛伦茨曲线，任何从对角线的偏离都代表一定的不平等。基尼系数可用平等线与洛伦兹曲线间的面积占平等线与横轴间的面积之比表示，这也是基尼系数的连续形式：

(11)

基尼系数计算公式较多，其协方差形式和平均差形式应用最广泛：

G=2Cov[y，F(y)]/μ

(12)

G=Δ/2μ

(13)

二、Zenga指数的分解

包括基尼系数在内的大多不平等指数不满足加和分解性，相应的分解存在难以解释的余项，而Zenga指数具有优良的分解性，既能进行子群加和分解，又能进行子要素分解，还可进行子群和子要素的联合分解，丰富的分解视角和独特的分解特性形成了完善的分解体系。

(一)子群分解

居民通常按照居住区域、教育水平等划分为各个群体，相同群体内个体之间可能存在差异，不同群体之间也可能存在差异。对于k个子群组成的总体，数据结构如表1所示。

表1 包含k个子群的收入数据结构

Z(y)=ZW(y)+ZB(y)

(14)

子群内不平等ZW与子群间不平等ZB可分别表示为：

ZW(y)=

(15)

ZB(y)=

(16)

基尼系数只有子群间收入不重叠时才可进行加和分解，多数情况子样本收入有重叠，分解时会出现余项。Dagum将基尼系数子群分解表示为子群内不平等和子群间不平等之和[8]：

G=GW+GTB

(17)

(18)

(19)

GTB=GNB+GC

(20)

(二)子要素分解

(21)

基尼系数子要素分解公式有多种，应用较多的协方差形式为[10]：

(22)

其中，Sj为要素xj所占份额，G(xj)为要素xj的基尼系数，Rj=cov[xj，F(y)]/cov[xj，F(xj)]为秩相关系数。可见，基尼系数的子要素分解不能表示为子要素收入不平等的加权和，还要考虑与总收入分布的秩相关系数。

(三)子群和子要素的联合分解

子群和子要素之间的交叉联合分解可以同时从收入构成和人口构成两个角度揭示不平等的结构，是不平等指数分解比较深入的研究，但受到指数自身可分解性的限制，并不是所有的不平等测度指数都可进行这种联合分解。Zenga指数的子要素分解可表示为分项收入不平等的加权和，其子群分解又具备加和分解性，这种优良的分解特性使得Zenga指数成为唯一可进行子群和子要素联合分解的指数。

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Z··W(xj)和Z··B分别表示总不平等Z(y)中要素收入xj的子群内不平等与子群间不平等。由此可见，Zenga不平等指数可对不同要素收入的不同子群进行不平等的分解和汇总，详见Zenga M的研究文献[11]。

从指数分解角度看，基尼系数不能进行子群和子要素的联合分解，子群分解和子要素分解都存在难以解释的附加项，而Zenga指数的子群分解和子要素分解都具有加和分解性，而且能进行子群和子要素的联合分解，由此可以更深入地揭示不平等的深层内在机制。

三、Zenga指数与基尼系数的对比分析

(一)测度值对比

对比Zenga指数与基尼系数的点不平等指数式(4)和式(8)可知，如果收入是完全平等分配的，收入分布中的每一点都有累积收入比例等于累积人口比例，即L(ph)=ph，则有Z=G=0；如果出现了不平等，Zenga指数和基尼系数都大于0，但两者不会相等。对比Zenga指数与基尼系数的点不平等指数式(3)和式(9)，Zenga指数考虑的是高收入群体与低收入群体平均收入之间的差别，基尼系数则考虑低收入群体平均收入和总平均收入之间的差别，由于总收入总不小于平均收入，T(y)≥μ，因此总有Zh≥Gh，Zenga点不平等指数不会小于基尼点不平等指数，这必然导致最终测度结果相应的差异，即Z≥G。

(二)敏感性比较

将式(7)所示的Zenga指数与式(11)表示的基尼系数的连续形式进行统一变换：

wG(p)=2

(28)

(29)

显然，p-L(p)是Zenga指数和基尼系数两种不平等指数共有的核心部分，表示完全平等分配时的累积收入份额与实际累积收入份额的差额，两种指数赋予差额p-L(p)以不同的权重。基尼系数中的权重wG(p)为常数2，而Zenga指数中的权重wZ(p)是一个减函数(1/p)和一个增函数(1/[1-L(p)])的乘积。相对来讲，基尼系数对中等收入群体比较敏感，Zenga指数则对收入分布的两端比较敏感。

事实上，两种指数体现不同的公平标准和政策理念。基尼系数指导决策长达1个多世纪之久，而当前世界经济分化动荡加剧，贫富差距进一步加大，一些经济学家开始质疑基尼系数是否能充分体现这种社会分化，因此Zenga指数受到越来越多的关注。与基尼系数更加关注中等收入群体相比，Zenga指数考虑低收入群体平均收入与高收入群体平均收入的相对差别，体现大多数人向上流动的内在愿望。

(三)公理化性质比较

从理论上讲，不平等测度指数需要满足一定的公理化性质要求，以保证其良好的测度特性，这些性质主要包括：

1.匿名性。不平等测度结果只与关注的福利指标有关，与被观察对象的其它个体特征无关。

2.标准化。若总体中个人收入都相同，不平等测度值为零，只要存在收入的不平等，测度值必然大于零。由于给定范围更便于对比，[0，1]区间特性很具吸引力[12]。

3.尺度无关性。要求当变换度量衡单位时不平等指数值不受影响。

4.弱转移原则。不改变原来收入排序条件下，从富人向穷人的收入转移导致不平等程度下降。

5.强转移原则。不改变原收入排序条件下，对于来自富人的固定转移，转移至较低收入处比转移至较高收入处引起的不平等下降更多，该原则表达了更多关注穷人的福利思想。

6.可分解性。指总体不平等可表示为子群不平等或子要素不平等的函数。根据不同群体分解称为子群分解，根据收入的构成要素分解称为子要素分解。如果不平等指数的子群分解可表示为子群间不平等和子群内不平等之和，且子群内不平等是各子群不平等的加权和，该不平等测度被认为具有加和分解性，加和分解性是可分解性中较强的要求，如果不满足加和分解性，相应的分解存在难以解释的余项。

不平等测度指数的可接受性很大程度上依赖于自身特性*两种不平等测度指数所满足性质的证明过程有大量的文献对此关注，鉴于篇幅限制，本文将其略去。，基尼系数满足匿名性、标准化、尺度无关性、弱转移性和可分解性[12]，但不满足强转移原则，不具有加和分解性[13]，而Zenga指数满足以上所有的性质[14]。

基尼系数作为传统的不平等测度指数，之所以得到广泛的应用，是由于和洛伦兹曲线结合在一起测度不平等具有较好的直观性，这种直观性是Zenga指数所欠缺的。但基尼系数不满足强转移特性，同样数量的收入转移如果转移到众数附近带来不平等程度下降要比转移到收入底层大，这显然不太合理，这也是基尼系数受到质疑的重要方面之一。鉴于此，满足强转移特性的Zenga指数其现代应用更为广泛。

不平等指数的可分解性有利于认识不平等的来源和结构，有利于应用目标工具进行削减不平等的有效政策的制定，被认为是较重要的性质。基尼系数虽然具有一定的可分解性，但除非子样本间的收入不重叠，基尼系数难以分解尽净，不具有加和分解性。Zenga指数具有加和分解性，同时可进行子群和子要素的联合分解，这在不平等指数中是少见的优良分解特性。另外，由于其考虑大多数人向上流动的内在愿望，又具备位置转移敏感性，因此，Zenga指数尽管直观性有所欠缺，但仍具有较强的理论和现实意义，被称为现代不平等测度中非常有见地的指数，在国际上得到广泛认可。

四、基于Zenga指数的不平等测度实证

(一)数据与指标

基于实际微观数据应用Zenga指数和基尼系数进行实证对比分析，可更好地理解Zenga指数的特征。本文所用数据为中国家庭追踪调查(CFPS)数据，CFPS由北京大学中国社会科学调查中心实施，数据质量具有较好的保证。CFPS重点关注中国居民的经济与非经济福利，样本覆盖全国25个省/市/自治区，调查对象包含样本家户中的全部家庭成员。该调查于2010年正式开展访问，最新的调查数据为2014年，每次调查的家庭收入数据是针对上一年度的，这也是目前国内时效性最好的全国性微观家户调查数据。

本文实证所用指标为年度家庭人均纯收入，由家庭纯收入与家庭规模相比得出。CFPS提供了详细的家庭分项收入数据，分项收入包括工资性收入、经营性收入、财产性收入、转移性收入和其它收入，家庭纯收入数据由分项收入加总得出。本文应用2010和2014年两期数据进行实证分析，2014年数据采用与2010年可比指标。CFPS2010和2014年分别提供了14 798和13 946户家庭调查数据*为了增加对指数测度方法理解的直观性，本文实证没有考虑CFPS数据的样本权重。，剔除分项收入和城乡属性缺失的样本，两个年份最终样本数分别为13 902(表2)和12 917户*考虑到统计软件计算不平等指数时大都不考虑0收入数据，而0收入家庭又大量存在，直接删除该样本会造成估计的偏差，本文以0.000 01代替所有的0收入值，将所有0值以极小的正值代替，既保证了样本数，又不至于影响估计结果。，农村样本约占到52%。

居民家庭人均纯收入由2009年的10 137元增至2013年的14 066元(表2)，年均增长8.5%以上。工资性收入是居民家庭收入的主要来源，份额达65%以上。动态来看，2009-2013年，工资性收入份额有所上升，经营性收入份额有较大幅度下降，而转移性收入份额有较大幅度上升。人均总收入和各分项收入的中位数都远小于各自均值，收入分布的右偏特征明显。

表2 中国居民家庭人均纯收入构成

注：数据来源于笔者根据CFPS数据整理得出。

(二)Zenga指数与基尼系数测度结果比较

从测度水平考察，对2009年和2013年中国家庭人均收入的不平等测度结果基尼系数分别为0.551 3(表3)和0.527 2*本文基尼系数测度实证时没有考虑样本权重，而且包含0收入家庭，这可能导致不平等测度结果偏大。，Zenga指数分别为0.864 7和0.864 0，前者小于后者，正如前面分析所述，Zenga指数考虑的是高收入群体与低收入群体平均收入间的差别，基尼系数则考虑低收入群体和总体平均收入间的差别，因此Zenga指数比基尼系数的测度值更高。

从动态变化角度看，对2009年和2013年中国家庭人均纯收入的不平等测度结果两种指数都显示出下降趋势。基尼系数表现为较低不平等水平上的显著下降。与此不同，Z指数表现为较高不平等水平上的微弱下降。这种差异是由两种指数对不同群体的敏感性差异导致的。两年的洛伦茨曲线(图3)低收入部分(0

通过测度结果比较，由于基尼系数考察低收入群体与总体间的收入差别，Zenga指数则关注高收入群体与低收入群体间的收入差别。基尼系数不满足强转移性，没有给低收入群体以足够的重视，而Zenga指数则满足强转移特性。因此，从水平值看，基尼系数难免低估相应的不平等程度；从动态变化看，与Lorenz曲线相比，Zenga不平等曲线更能捕获低收入群体的收入变动特征，比洛伦茨曲线更具有解释能力，能获取关于不平等动态演变的更多细节。

图3 家庭人均纯收入洛伦茨曲线图

图4 家庭人均纯收入Zenga不平等曲线图

(三)Zenga指数与基尼系数的分解比较

简单起见，本文基于2014年CFPS数据将总体分为城市和乡村两个子群进行不平等子群分解。Zenga指数子群分解不存在子群间交叉项，其加和分解性使分解结果很明确。城市家庭人均纯收入Zenga不平等指数略大于农村，子群内和子群间不平等对总不平等的贡献分别为46%和54%(表3)，城乡子群间不平等贡献比子群内不平等贡献略大。除此之外，Zenga不平等指数还可以得出城市和农村两子群对总不平等的贡献分别为40%和60%；与Zenga不平等指数的子群分解相比，基尼系数不能得出每个子群对总不平等的贡献，而且其子群分解显得复杂。城市基尼系数稍低于农村*以Zenga指数度量的不平等是城市高于农村，基尼系数度量的不平等是城市低于农村，前者是低收入组与高收入组对比，后者是低收入组与平均收入对比，因此会有不同的结论。，城乡子群内不平等、子群间不平等和子群间交叉项对总不平等的贡献分别为46%、28%和26%，如果将后两项统称为基尼系数子群间总不平等，则可说明两种方法测度值虽不同，但子群内不平等和子群间总不平等贡献率相等。

进行不平等子要素分解时，Zenga指数更凸显其简洁性，2013年中国居民家庭收入中的工资性收入不平等最为严重，Zenga指数高达0.613 3(表4)，对总收入不平等的贡献达到71%。其次是转移性收入，相应的Zenga指数和贡献率分别为0.168 1和19%，经营性收入、财产收入和其它收入的不平等程度很小，各自对总不平等的贡献不超过4%；基尼系数子要素分解时，各要素不平等及总不平等的测度值与Zenga指数的测度值不同，但各要素不平等对总不平等的贡献相近，由于基尼系数不能表示为子要素收入不平等的加权和，还要考虑与总收入分布的秩相关系数，分解过程显得比较繁琐。

表3 2013年中国居民家庭人均纯收入不平等的城乡子群分解

注：数据来源于笔者根据CFPS数据计算得出。

Zenga指数城乡子群间不平等是城市低收入组与农村高收入组之间的不平等，农村子群间不平等是农村低收入组与城市高收入组之间的不平等，两者之和构成了城乡子群间总不平等；基尼系数子群间不平等对比的是各子群的平均收入，城乡子群间不平等就是总的子群间不平等。

表4 2013年中国居民家庭人均纯收入不平等的子要素分解

注：数据来源于笔者根据CFPS数据计算得出。

子群和子要素的交叉联合分解，是Zenga指数特有的分解特性*基尼系数也可算出子群和子要素交叉分组下各子群的基尼系数，但不具有加和性，分解意义不明确。，通过子群和子要素的交叉联合分解，既可以分析各子群的不同收入来源对总不平等的贡献，也可以分析各子群不同要素收入的子群内与子群间不平等对总不平等的贡献，无论是从横向上还是纵向上都可进行加和分解。由表5可知，对于工资性收入来讲，城市和农村子群内Zenga不平等指数分别为0.165 1和0.120 1，两者之和0.285 2即为工资性收入的城乡子群内不平等；工资性收入的城市低收入组与农村高收入组对比得出子群间Zenga不平等指数为0.078 0，农村低收入组与城市高收入组对比得出子群间Zenga不平等指数为0.250 0，两者之和0.328 0即为工资性收入的城乡子群间不平等；工资性收入的城乡子群内不平等和子群间不平等之和0.613 2则构成了工资性收入这一子要素的总的不平等；从纵向角度分析，城市子群内不平等0.165 1和城市低收入组与农村高收入组对比得出的子群间不平等0.078 0共同构成了城市子群工资性收入的不平等，为0.243 1，相应的农村子群工资性收入的不平等为0.370 1，城乡两子群工资性收入的不平等之和也为0.613 2，相似的分析也可用于其它子要素和子群的联合分解分析。

表5 2013年中国居民家庭人均纯收入Zenga不平等指数子群和子要素交叉分解

注：数据来源于笔者根据CFPS数据计算得出。表中括号中的值为子群和子要素的交叉项对应的不平等对总不平等的贡献率。

通过联合分解分析可获得不同层次的信息：从子要素角度考察，工资性收入对总不平等的贡献最大，达到71%；从子群角度考察，城乡子群内和子群间不平等对总不平等的贡献分别为46%和54%，城市和农村两子群对总不平等的贡献分别为40%和60%，这是前述子要素和子群单独分解分析中已得出的结论。交叉分解可进一步发现子群和子要素的交叉项对应的不平等及其对总不平等的贡献率，农村居民的工资性收入对工资性收入不平等的贡献高达60%，对总不平等的贡献为43%，是交叉分解中对总不平等贡献最大的部分。在此基础上，还可以进行更细化的分解，农村工资性收入的子群不平等高达0.250 0，对农村工资性收入不平等的贡献率为68%，对工资性收入子群间不平等的贡献率为76%，对总不平等的贡献率为29%。从最细化的子群和子要素的交叉项考察，对总不平等的贡献率达到10%以上由大到小依次为：工资性收入农村子群间不平等(29%)、工资性收入城市子群内不平等(19%)、工资性收入农村子群内不平等(14%)、转移性收入农村子群间不平等(11%)。这些结论可为认识不平等的结构、制定缓解不平等的政策提供有意义的信息。

通过不平等的分解实证分析可进一步验证，基尼系数虽有一定的可分解性，但不具有加和分解性，无论是子群分解还是子要素分解，都难以分解尽净。而Zenga指数具有加和分解性，子群分解为子群间不平等和子群内不平等之和，子要素分解为各要素不平等的加权和，同时还可进行子群和子要素的联合分解，分解结果明确，可获得不同层次不平等大小及贡献率的相关信息。

五、结论和建议

与基尼系数相比，Zenga指数具有更多的优良特性，主要表现为满足强转移性，具有较好的加和分解性，因此，Zenga指数对低收入群体收入差距更敏感，更适合围绕低收入群体进行不平等现状及相关政策效应分析；与洛伦茨曲线相比，Zenga不平等曲线能展现关于不平等动态变化的更多细节；另外，Zenga指数的加和分解性使得不平等的分解简洁明了，其独特的交叉分解特性可为认识不平等的结构提供更深层次的信息。

不平等测度是度量社会公平性的重要参照，一个社会的不平等状况及其产生的影响不仅取决于国家政策的干预，还取决于度量不平等时所使用的统计指数。如何从一系列不平等指数中筛选出更合理的测度方法，主要取决于研究的目的和指数的性质。当前减贫脱贫是中国社会和经济发展重要战略目标，在此背景下，消减不平等的政策更应关注低收入群体，基尼系数不满足强转移特性，没有给低收入群体以足够的重视，确实低估了相应的不平等，应选择对低福利群体敏感的Zenga指数进行不平等的观察和测度；不平等指数的可分解性至关重要，Zenga指数具有加和分解性，能达到分解尽净的效果，而且可同时从福利构成和人口构成两个角度对不平等的结构进行深入探讨。Zenga指数满足不平等指数通常所需的性质，比基尼系数具有更优良的测度特性，应成为不平等测度的重要工具。

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