落差“探”起点，衔接“优”学习

谢素娟

摘 要：把握学习起点是学生数学学习有效性的前提和保证。教师要关注数学知识的衔接，把握教学之间的落差，弥合学生经验的断层。深度研究知识的逻辑起点、学生的现实起点和教学的潜在起点，从而优化学生的数学学习。

关键词：数学教学；教学落差；教学起点；教学衔接

指向学生发展的数学教学，必须建立在对学生学习起点的精准把脉和对学生学习过程的有效引导上。其中，学生学习起点的精准把脉是数学教学的逻辑前提。所谓“学习起点”，是指学生从何处开始探究，达成何种目标的问题。可见，“学习起点”不仅仅是学习起始阶段的“点”，更是贯穿于整个数学学习过程之中的“点”。因为学生的数学学习是动态的，起点和落点之间是不断地转化的。学习起点的适切与否，关乎学生整个数学学习过程的成败。因此，研究学生学习起点，把握学生学习起点，是小学数学教学研究的重要课题。

一、关注“衔接”，研究知识的逻辑起点

数学是一门结构性、系统性、关联性的科学。新的数学知识是建立在旧的数学知识的基础之上的。在数学教学中，旧知是新知的基础，已知是未知的基础。把握学生数学学习的起点，首先是要关注数学本体性知识的衔接，研究学生数学学习的逻辑起点。数学教学的现实载体是什么？毋庸置疑，是教材。但教材中数学知识往往是以“点”的形态出现的，它略去了这些知识“点”的产生过程，遮蔽了这些知识“点”之间的意义关联。作为教师，首先就是要恢复数学教材中知识“点”的鲜活样态，发掘知识“点”产生的土壤。

关注“衔接”，研究知识的逻辑起点，其要义有二：一是关注知识“点”的纵向关联，即数学知识的“源”“流”；二是關注知识“点”的横向关联，即此知识“点”与彼知识“点”的关联。从教学策略上看，关注“衔接”，研究知识的逻辑起点，主要包括两个教学阶段：一是“教结构”，二是“用结构”。“教结构”是引导学生逐步掌握数学知识本质、关联的过程，“用结构”是引导学生对所掌握的数学知识进行灵活运用的过程，这就是递进化把握教材和有机化把握教材的过程。

比如在教学《100以内的加法和减法（二）》（苏教版小学数学一年级下册），由于《100以内的加法和减法（一）》安排在前面的单元之中，因此许多教师往往关注了这部分内容教学的知识基础，却忽视了这部分内容对后面计算教学的意义和价值。事实上，这部分内容是学生笔算的基础，不仅有助于学生进一步正确、规范地进行一百以内加减法笔算，更有助于发展学生敏捷的思维品质，培育学生应用所学知识自主建构、解决问题的意识和能力。因此，这部分内容不仅需要强化算法学习，更需要强化算理学习。就以例题3来说，24+6，要引导学生结合“捆小棒”深度思考：6应该写在什么位置？6为什么要和4对齐？6和4合并起来是10，怎么写？这个0如何处理？要引导学生动手操作，让学生理解“捆”的内涵，感受、体验“满十进一”的合理性、必要性。这样的教学，不仅让学生明白了“怎样算”的算法，而且让学生深刻理解了“为什么要这样算”的算理。为今后学习“多位数加减法”，把握“数位对齐”，乃至于感受和体验“位值”的意义、“简便”算法都具有深远的影响。

这样的教学，不局限于教材纸面上的有限知识“点”，而是立足于数学知识本身，对数学教材进行瞻前顾后式地渗透、孕伏。当然，即便这样，也不能保证学生学习起点的恰当性，因为这样的对数学知识“点”的处理，是以学生的“类发展”作为假设的，因而仍然是抽象的。当教师遇到一个个具体的学生时，就需要把握数学知识与学生学情之间的落差，探寻学生的现实起点。

二、把握“落差”，探寻学生的现实起点

学生的数学学习既有一般性，又有特殊性；既有普遍性，又有个别性；既有连续性，又有阶段性。由于每一位学生思维方式、行为态度、领悟水平等的差异，导致了学生“学”的差异性。把握教学落差，探寻学生学习的现实起点，是数学教学的应然之道。苏联教育心理学家维果茨基认为，在儿童发展中，存在两种发展水平：一是现实发展水平，二是可能发展水平，在现实发展水平和可能发展水平之间存在一个区域，这就是“最近发展区”。如果教师能够准确把握教学落差，就能让学生从“现实发展水平”经由“最近发展区”迈向“可能发展水平”。

在数学教学中，教师可以通过问卷调查、个别访谈、教学前测等诸种手段，去分析学生现时状态，包括已有知识经验、学习能力、思维水平等，去揣摩学生可能会存在的迷思概念、相异构想等，去分析学生在数学学习中可能会遭遇的学习障碍、困惑等。只有教师精准地把握了教学落差，才能让数学教学更具针对性、方向性，让学生的数学学习更具有效性、现实性。不仅如此，教师还要对学生数学发展的可能性进行思考，敏锐地发现、捕捉、利用学生的各种可能性，对学生的数学学习的可能性进行预设。从这个意义上来说，学生的现实起点比逻辑起点更具动态性、生成性。

比如一位教学《有余数除法》（苏教版小学数学二年级下册），教材的例题是：把10支铅笔分给小朋友，每人分2支，可以分给几人？每人分3支、4支、5支呢？在小组里分一分，说一说。该教师将例题改编为：把10支铅笔分给小朋友，每人分3支，可以分给几人？每人分4支，可以分给几人？教师让学生借助分铅笔的方法进行物质操作，结果尽管学生会一根一根地分、两根两根地分，但学生却不知道如何列式表达。

课后，笔者问该教师，为什么要将教材中的例题进行改编。该教师认为，学生已经学习了“没有余数的除法”，因此这节课的教学重点就是要让学生体验除法中“余数的产生”。笔者问“有没有对学生进行学情调查”，该教师认为，没有余数的除法学生已经学习了，应该就掌握了吧。殊不知，“有余数的除法”是二年级下册第一单元的内容，与前面所学习的“没有余数的除法”应该相隔了一段时间。因此，“没有余数的除法”的活动经验沉积在学生数学学习经验深处，具体的写法、算法，学生都已经遗忘了。

基于此，笔者让该教师在另一个班级上课的时候，先对学生进行前测，结果发现，对于“有余数的除法”，大部分学生都能借助各自的方法探究出结论，但对于“余数”不知道如何处理，因而都没有列成除法算式。基于此，该教师在另一个班级上课前，按照教材的编排，多设定了一些台阶，引导学生拾级而上，教学取得了很好的效果。学生在操作活动中不仅理解了除数、商的含义，更深刻地理解了余数的含义。

在数学教学中，能够精准地把握学生的现实起点是数学教学成败的关键。如果将学生的学习起点设定得高，就容易导致学生“跳起来也不能摘到桃子”，挫伤学生数学学习的积极性；反之，将学生的学习起点设定过低，课堂教学也是低效的，学生将体验不到数学学习的挑战性。因此，在学生学习困难时设定台阶，在学生学习轻松时撤掉台阶，让教学贴合学生的学习，才是数学教学的现实路径。

三、关注“断层”，弥合教学的潜在起点

研究学生数学学习的起点，不仅要关注知识的衔接，教学的落差，还要关注个别学生知识的“断层”。“断层”不同于“落差”，落差是学生群体普遍性的问题，而断层则是学生个体性、个别性的问题。在数学学习中，学習断层的现象往往出现在数学学习弱势群体身上，他们由于前面某个知识点的模糊，导致在学习新知时始终不能跟进群体的学习进度。基于此，教师要关注学生的学习“断层”，从而弥合教学的生成起点。

比如学习《表内除法（一）》（苏教版小学数学二年级上册），一位教师在教学过程中，创设了问题情境，把6个桃分成两堆，可以怎样分？引导学生进行动手操作，形成了三种分法，从中找出了一种特殊分法，从而形成“平均分概念”。然后通过这样的问题“还有其他的分法吗”，引导学生展开个性化探索。接着，将“平均除问题”转变为“包含除问题”，即“有8个桃，每个小朋友分2个，可以分给几个小朋友？”当学生通过操作，领悟了“平均除”“包含除”等概念后，主要借助表内乘法口算表内除法。但是，由于部分学生对表内乘法口诀不熟练，由此导致学生计算出现卡壳现象。针对这一现象，该教师果断调整教学预设，在教学中穿插了“表内乘法”的复习、巩固，以便扫清学生计算障碍。同时沟通知识之间关联，让学生深度理解乘法、除法之间的关系。

数学教学不仅要着眼于学生群体，更要着眼于学生个体。只有让数学教学兼顾学生群体和个体，才能让学生体验到成功喜悦。对学生个体知识断层的弥合，能够提升学生数学学习的“自我效能感”，转变学生数学学习态度。关注学生个体学习起点的断层，能够弥合学生数学教学的潜在起点。对学生数学学习的潜在起点的弥补，是由于学生的数学学习状态具有非线性、偶然性和复杂性所决定的。

美国著名教育心理学家奥苏贝尔说：“假如让我把全部教育心理学原理归结为一条原理的话，我将一言以蔽之，影响学习的唯一最重要因素，就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并据此进行教学。”在数学教学中，一个个的学习起点同时也是一个个的学习落点，而一个个的学习落点又构成了学生数学学习的新的学习起点。数学教学就是在这种起点与落点、预设与生成、有限与无限的矛盾运动中展开且螺旋上升的。因此，探寻学生的数学学习起点，把握学生的数学学习起点，才能让教学灵动而智慧，才能让数学教学焕发出生命的活力！