基于学习起点，建构整数的“运算律”教学

霍艳

摘 要：“运算律”是运算的固有性质，贯穿于数学教学的始终。作为具有奠基性质的小学数学整数运算律教学，必须从运算律生长的“根”上来加以理性分析，把握运算律教学的逻辑和现实起点。对于运算律的运用，教师不能仅仅局限于引领学生进行技术性运用，而更应通过运算律的学习历程来感受、体验运算律的策略性、方法性和思想性运用。

关键词：数学教学；运算律；学习起点；运用策略

“运算律”是贯穿学生整个数学学习的运算法则，运算律是运算固有的性质。在小学阶段，从自然数到小数、分数，运算律体现为一种“通则通法”。即便以后进入数学中的有理数学习、实数学习乃至于复数学习，运算律依然有效。从这个意义上说，小学阶段，整数运算律学习带有筑基性质。但是，在数学教学中却经常出现这样的“吊诡”现象：即教师在整数计算的教学中教学运算律，在小数计算的教学中教学运算律，在分数计算的教学中依然教学运算律，但学生在运用时常常捉襟见肘、张冠李戴、力不从心。这不能不引起我们的教學反思：即整数四则运算的运算律到底应该怎样教？笔者认为，只有回溯运算律教学基础，从本源上来阐明道理，从运算律生长的“根”上来加以理性分析，才能廓清对运算律的教学认识，才能让学生在运算律运用中形成一种理性自觉，从而在运用时能够左右逢源、游刃有余、得心应手。

一、回溯：学生“运算律”学习起点的分析

小学阶段的运算律主要包括“加法交换律”“加法结合律”“乘法交换律”“乘法结合律”“乘法分配律”“减法性质”和“除法性质”等。这些运算律从一年级数学教学开始，就已经渗透，只不过到了系统学习四则运算时，运算律就作为一个单元独立起来，成为系统研究对象。无论是人教版教材，还是苏教版、北师大版等教材都是如此。以苏教版小学数学教材为例，“整数运算律”安排在四年级下册第六单元。教师在教学这一单元时，要对前面的内容进行分析，不仅把握运算律知识生长的逻辑起点，更要把握学生学习运算律的现实起点。

1. “运算律”教学的经验起点。

学生在学习运算律之前，已经在生活中积淀了广泛的活动经验。这些经验潜隐在学生思维之中，悄然发挥作用。因此，从某种意义上说，运算律教学就是要将学生心灵深处运算律缄默性经验知识、生活知识唤醒、激活，使学生在计算时能自觉调用运算律经验，从而让运算律运用回归理性自觉。以“加法交换律”为例，加法交换律的本质是什么呢？根据“自然数序数理论”，加法可做如下定义：先数出a个数，再数出b个数，与先数出b个数，再数出a个数，结果是一样的，即a+b=b+a；从集合理论看，把集合A和集合B合并，无论是把集合B的元素添加到集合A中去，还是把集合A的元素添加到集合B里去，结果总是一样的。在数学教学中，只要学生拥有数数经验、合并经验，就不难理解“加法交换律”。同时也可以看出，学生从一年级开始就已经不断地积累了加法交换律的活动经验。小朋友们排队做早操，先数左边队伍里的学生，再数右边队伍里的学生，与先数队伍右边里的学生，再数队伍左边里的学生是一样的。这些学生生活经验中的“加法交换律”的雏形是具体的、生动的、情景化的。一年级“加法认识”单元教学开始，学生就已经接触了加法的交换律。先数左边3个同学再接着数右边2个同学与先数右边2个同学再接着数左边3个同学，其结果是不变的，这就是加法交换律的“雏形”，是具体、零散、情景化的。通过四年级运算律单元教学，将这些零散、具体、情景化经验进行提炼、抽象、完善，形成一种交换律模型。

2. “运算律”教学的知识起点。

学生在学习运算律之前，其知识经验也不是一张白纸。学生在系统学习加、减、乘、除运算时，有意无意地运用了运算律。在数学教学中，教师要运用学生本源性数学知识，运用学生数学知识经验，暴露学生认知起点、思维起点。当然，对于“运算律”单元整体教学，要在学生原有认知基础上获得思想方法提升。以“加法结合律”“减法的性质”为例，在一年级学习“数的分与合”“9加几”“十几减9”等进位加、退位减中，学生就已经能够综合运用“加法结合律”“减法性质”，体现在学生能够自觉地运用“凑十法”“破十法”“平十法”等计算方法。再以“乘法分配律”教学为例，应该说，“乘法分配律”是“运算律”中相对复杂的一个，但即便是“乘法分配律”，学生在各个学段学习中均已涉及。如在三年级下册“两位数乘两位数”竖式计算中，就已经运用了“乘法分配律”，在三年级上册“长方形的周长”计算中，也运用了“乘法分配律”。可见，学生在数学学习中已经广泛接触到运算律，已经在理性认识运算律之前感性地运用了运算律。教学中，教师需要正本清源，创设情境，唤醒、激活学生已有知识经验，充分运用学生已有知识经验展开教学，引领学生自主建构。

二、追寻：学生“运算律”运用策略的分析

对学生运算律学习经验起点和知识起点的分析，有助于运算律更为有效的教学。如前所述，学生在正式学习运算律之前已经理解了运算律的实际运用，难道非要用一个抽象符号算式概括起来，才算是学习运算律吗？答案显然不是。那么，“运算律”的价值都体现在哪些地方呢？通过运算律意义价值分析，对数学教学、对学生运用运算律都有哪些启迪呢？

1. 经历过程，体验探究性运用。

学生学习运算律，绝不仅仅是在简便运算中进行简单运用，如果这样，就是对运算律意义价值的窄化。对于运算所固有定律，我们不能仅仅用“有用”体现它的存在。是的，运算律有广泛运用，但这只是运算律的直接效用。运算律真正意义和价值体现在：运算律具有发展学生数学探究能力、数学猜想验证能力，发展学生数学核心素养之效用。在数学教学中，首当其冲，是让学生体会运算律“通则通法”的存在价值。梳理各个版本运算律教学，不难发现，其编排基本上是一致的，即现实通过一个情境，让学生列出两个形式不同本质相同的算式，形成猜想，两个式子可以用等于号联结。接着，是通过举例子，对等式进行验证。最后，通过不完全归纳形成运算律。为了体现“不完全归纳”的科学性，教师可以从两个维度展开教学：一是正向举例（正例），二是反向举例（反例）。通过正反论证，让学生体验到科学论证的一般过程。那么，如何让学生感受、体验运算律的“通则通法”作用呢？那就是教师要预留充足的时空，让学生反复地验证。当学生举出一些大数、小数时，就能自然地体验到运算律“通则通法”的科学探究价值。当学生经历探究过程后，学生在简便运算应用中，就能主动地关注数据特点，就能对不同算法进行比较，就能关注到问题结构、数量关系等。

2. 系统思维，体现思想性运用。

在小学阶段，运算律教学采用的是“不完全归纳法”。严格意义上说，不完全归纳不是一种证明，而是一种解释。因此，教师可以打破教材编写框架，引导学生从加法含义，从累加的视角去追问“问什么”。如前所述，在处理这一部分内容时，教材都是引导学生运用“猜想—验证”的不完全归纳方式展开的。为丰富、发展学生数学思想，教师可以将类比推理引入其中。比如在学生学习了“加法交换律”后，教师可以引导学生展开类比：在减法中有交换律吗？在乘法中有交换律吗？在除法中有交换律吗？通过这样的教学，将看似无关的运算律联结到一起，增进运算律解释力、结构力、聚合力。在学生通过举例进行验证过程中，教师要引导学生关注特殊情况，比如“0”“1”这些特殊的数。要不断引导学生反思，过程是否完善，特殊情况是否考虑，举例是否具有一般性等。如此，学生对运算律理解就能从肤浅走向深刻，从低阶走向高阶。有了思维砥砺、思想介入，学生在数学学习中就会主动分析。比如有时候，学生遇到几个加数的和乘一个因数，就会将“乘法分配律”放大，形成“多个数乘一个因数的分配”；再比如，尽管有时问题中没有要求学生运用简便运算，但学生也会形成问题解决的简化策略、简便计算。如在遇到相遇问题时，学生会根据数据特点，灵活运用“甲程+乙程=全程”“速度和×相遇时间=路程和”两种关系式。又比如，学生会对复杂的算式进行分析，如999×8+111×28、360×52+480×36，等等。这里，较复杂的简便运算是不能一眼看出该用怎样的运算律的，而是需要学生根据数学思想、方法展开深度分析。换言之，这里体现的不再是简单技术性运用，而是一种策略性、方法性、思想性运用。

总之，运算律教学必须建立在学生数学学习起点上，不仅把握运算律知识本身逻辑起点，而且把握学生运算律的已有生活经验、知识经验，把握学生运算律学习的现实起点。同样，运算律的运用，不仅仅是一种技术性运用，更是策略性运用、方法性运用、思想性运用。只有让学生充分经历了运算律合情推理历程，让学生在运算律学习中获得对运算律意义、价值的深刻感受、体验，学生才能展开运算律的深度运用、自觉运用。