立足知识本质，发展学生几何直观力

戚兴栋

摘 要：“几何直观”是学生数学核心素养的重要组成部分。发展学生几何直观能力就是要引导学生进行直观表征、直观分析、直观操作和直观想象。在数学教学中恰当地运用“几何直观”，能够帮助学生理解和掌握数学知识的本质，促进学生在数学学习中进行意义建构。

关键词：几何直观；数学教学；知识本质

所谓“直观”，《中国大百科全书》解释为：对客观事物直接接触而获得的感性认识。而《辞海》（第6版）中的解释是：感性认识，其特点是生动性、具体性和直接性。所谓“几何直观”，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的解释是：利用图形描述和分析问题。在数学教学中，借助几何图形，能够将复杂的数学问题简单化，将抽象的数学问题形象化，从而有助于探索问题解决的思路。正如著名數学教育家希尔伯特所说：“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。”

一、直观表征，让学生感知本质

传统哲学观认为，人的认识是从感性认识逐渐上升并发展为理性认识的过程。现代哲学观认为，直观有时就能直接洞察本质，就能直接抓住本质，这样的直观就是“本质直观”。几何直观既是一种教学方法，也是一种教学思想。小学生由于年龄和心理特征的影响，往往不能抽象地思考问题，但这并不等于说学生不能把握数学知识的本质。借助几何直观进行表征，往往能够让学生直接感知到知识的数学本质。从这个意义上说，几何直观有助于发展学生空间想象力、直观洞察力以及运用图形语言思考问题的能力等。

例如：教学《平均数的认识》（苏教版小学数学教材四年级上册），一位教师在教学中特别强调“求平均数的方法”，即“总个数÷总份数=平均数”，而忽视了“平均数的意义”，导致学生“知其然而不知其所以然”。在解决习题“小明身高143厘米，一条河平均水深120厘米，小明过河有危险吗”时，学生纷纷认为没危险，原因就在于143厘米大于120厘米。显然，学生对平均数这样一个“虚拟的数”意义不理解，认为平均数是一个“实在的数”。笔者在教学中，将“条形统计图”引入其中，学生通过移多补少，对条形统计图不断修正，直到所有“直条高度”都相同。在这个过程中，学生自然理解了平均数意义，即“平均数表示的是一组数据的平均水平，反映的是一组数据的整体状态，而不是某一个具体的数”。通过直观，学生感知到数学知识的本质。因此，在遇到这类问题时，学生都能给予理性判断。他们不会简单、直接地将平均数与某一个具体的数进行直接比较，而是深度思考平均数意义以及问题本身的含义。

在数学教学中，抽象概念讲解往往让学生生厌，让学生感受到数学知识的枯燥，而借助几何直观，可以让学生对知识本质形成直观而深刻的认识。这种认识不是黑格尔意义上的从现象到本质，而是现象学意义上的“直观即本质”“现象即本质”。在这个过程中，提升了学生用直观形象刻画数学概念的能力。相比较而言，学生这种对数学知识本质直观的感受、体验比本质推理、本质抽象更深刻、更持久。

二、直观分析，让学生理解本质

建构主义认为，学习不是教师将知识简单地传递给学生，而是学生自主建构知识的过程。在数学教学中，教师可以给学生提供直观材料，引领学生对直观材料进行直观分析，从而凸显数学知识的本质意义。著名数学家华罗庚说过：“形缺数时难入微，数缺形时少直观。”“数形结合”将抽象的数与具体的形有机结合起来，有助于通过图形直观性质来阐释抽象的数量之间的关系，从而将抽象的数学问题直观化。直观分析，就是要引领学生在数与形之间穿行，引导学生借助图形，对抽象的数学问题进行分析、探究、推导，引导学生将直观图形语言与抽象数学语言结合起来。

教学苏教版小学数学教材六年级下册《正比例的意义》，在学生理解了正比例的意义，能初步判断两种相关的量成什么比例后，笔者引导学生运用“描点”“连线”的方法绘制正比例图像。在绘制图像的过程中，学生认识到“点”的实际意义，即在平面直角坐标系中，这些点都表示两重意义：一是刻画横轴的意义，二是刻画纵轴的意义。有了这样的绘制直观图的体验，学生就能深刻分析正比例图像。比如，在速度一定，路程和时间的正比例图像上，学生能够迅速读出行驶时间所对应的路程，也能迅速读出行驶路程所需要的时间，还能发现随着行驶时间的扩大，行驶路程也随着扩大，行驶时间缩小，行驶的路程也随着缩小，而且扩大或缩小相同的倍数。通过绘制分析，学生深刻认识到：正比例图像是过原点的直线。借助几何分析，学生在判定稍复杂的问题时，就能主动绘制图像，进行判断。如“圆的面积与圆的半径是否成正比例”，学生在绘制图像后，发现圆的面积和圆的半径之间的图像不是一条过原点的直线，而是一条类似于扔物体的线（抛物线）。这样的教学，深化了学生对正比例意义的理解，为学生进一步学习函数、函数图像等知识奠定了坚实基础。

“几何直观”不仅是一种简单方法，而是一种科学的思想方法论。借助几何直观引领学生进行分析，能让复杂问题变得简单、形象、生动，也可以将学生在学习过程中的感受、体验、感悟变得更具体。在数与形、图与形沟通与联系中，那些看似深奥、干瘪的数学思想变得具体、丰厚、有血肉了，被转化成学生问题理解策略、问题分析策略和问题解决策略。

三、直观操作，让学生触摸本质

学生数学学习，不仅需要进行直观感知、直观分析，有时候还需要直观操作。直观操作，能够让学生触摸到数学知识本质。瑞士著名教育心理学家让·皮亚杰认为，“智慧自动作发端”。通过直观操作，调动学生的多种感官，让学生将眼前的物体的形状、特征、动态变化结合起来，形成动态认知。只有当学生将“形”“意”等整体性地纳入头脑之中，将“形”“意”融为一体，才能对诸种直观表象进行加工，从而有效地解决问题，积淀数学的基本活动经验，培育数学核心素养。

如有这样一道习题：一张长方形的布，长13分米，宽9分米，要将它裁剪成底、高都是4分米的等腰直角三角形的彩旗，一共能够裁剪出多少面？许多学生将这一道习题理解为“包含除问题”，用“长方形布的面积÷等腰直角三角形的面积”，即“13×9÷8≈14（面）”为了让学生自识其错，笔者让学生画图，将分米改成厘米，学生运用直尺，精准地画图。在画图的过程中，学生发现，这道题用“大面积÷小面积”是不符合事实的。学生发现，沿着水平方向，最多可以剪3面，沿竖直方向，最多可以剪2面，一共可以剪3×2×2=12（面）。在直观操作中，学生冲破了原有的思维惯习，超越了常规的问题解决策略。学生借助对图形的直观操作，对数量之间的关系进行理性分析，自悟其错、自识其陋，从而触摸到问题的真正本质。

布鲁纳认为，学生数学知识的理解有三种模式：一是直观动作模式，二是具体形象模式，三是抽象逻辑模式。应该说，直观操作属于第一种模式，这是一个让学生经历从动作感知到形象表象再到逻辑抽象的过程。只有经过学生直观操作才能帮助学生积淀基本数学活动经验，发展学生数学思想。通过这样独具匠心的活动，提升学生数学直观能力，优化了学生思维品质。

四、直观想象，让学生推想本质

数学直观是一种召唤结构，能够触发学生动态想象。借助直观进行数学想象，能够让学生推想到数学知识本质。直观想象是架设具体到抽象的桥梁，能够让学生几何直观能力获得自然生长。在数学教学中，如果教师能立足几何直观，设计开放性、关联性问题，引发学生静态、动态想象，学生就能推想、领悟出数学知识之本质。

对于《长方体和正方体的认识》（苏教版小学数学六年级上册），许多教师在揭示了长方体长、宽、高意义基础上，随后都会跟上一句“长方体长、宽、高决定长方体大小”。但这种认知只是一种肤浅认知，为了引发学生深度认知，让学生对长方体形成一种动态化、结构化认知，笔者在教学中引导学生直观想象长方体透视图。随着长方体透视图长、宽、高边的一一擦去，学生顿悟：原来长方体的长、宽、高决定长方体的体积，长在水平方向上决定、宽和高在垂直于水平方向上的两个竖直方向上决定。直观、动态的想象引发了学生对长方体大小的深度认知。有学生画出了三组图：第一组图是长宽相等高不等的长方体，第二组图是长高相等宽不等的长方体，第三组图是宽高相等长不等的长方体。三组图犹如三组对比实验，是学生对数学知识本质的创造性表达。

直观推想是一种高级的思维形式，是数学直观的精髓。学生能够进行直观推想，说明学生对数学知识的整体有着结构性的整体把握。在数学教学中，教师要充分发挥直观图形的作用，引导学生进行比較、分析、想象，形成丰富多彩的直观推想，自主地获得数学结论，形成对数学知识的本质认识。

“几何直观”是学生数学核心素养的重要组成部分，发展学生几何直观能力就是要让学生进行直观表征、直观分析、直观操作和直观想象，进而感知、理解、触摸、推想到数学知识的本质。在数学教学中，教师要依据学生年龄特点，以教材内容为依托，构筑从直观到抽象的桥梁。让学生借助“形”来思考、分析问题，形成解决问题的策略。通过几何直观，积淀学生的数学活动经验，发展学生的数学思想，提升学生的数学核心素养。