例谈解含参不等式恒成立应注意的问题

江苏省南菁高级中学 花 敏

例谈解含参不等式恒成立应注意的问题

江苏省南菁高级中学 花 敏

含有参数的不等式的恒成立问题是不等式中的重要题型，也是各类考试的热点。该类问题通常可化为最值问题来解决，但由于这类问题既含参数又含变量，学生在处理时普遍感到难以驾驭，不是方法烦琐，就是思路不清。本文通过不等式恒成立中几个应注意问题的举例说明，帮助学生理清这类问题的解决思路，并避免一些易犯错误。

一、分清主元与参数

分析：由于常见的思维定式，易看成是关于x的二次不等式，从而思路不清。其实抓住题中“对任意的恒成立”，应将m看成主元，而x是参数。

点评：这类既含参数又含变量的问题关键首先要分清谁是主元，谁是参数。一般题中对什么恒成立，什么就可以看成主元，另一个则看成参数，进而揭示函数关系，使问题明朗化。另外，对任意的恒成立但若真的去求则需对x-2分大于0、等于0、小于0三种情况讨论，此时抓住f(m)的图象为一条线段，其最小值只可能在端点处取到，故只需考虑两个端点值大于0即可。在求函数最值时，恰当利用数形结合思想，往往可使问题得到简化。

二、何时需分离参数

分离参数就是把含参数的式子分离出来放在不等号的一侧，而含主元的式子放在不等号的另一侧。在解决含参的不等式恒成立问题时,常需要用到分离参数法，但学生对何时需要分离参数往往不能准确识别。

点评：不等式恒成立问题转化为最值问题时，若所求函数最值需要分类讨论，则可考虑用分离参数法。分离参数后，需求最值的函数便不含参数，求最值较为方便。 但若分离参数也要讨论，则视具体情况选择分与不分。

三、最值取到与否对参数范围的影响

点评：当转化为最值问题时，若最值取不到，则应注意端点处，应停顿思考是否有等号，确保考虑全面，不失分。

例3 已知两个函数f（x）=x2+2x-m，g（x）=x3+3x2=3x，其中m为实数。

（1）对任意的x∈[-2,2]，都有f（x）≤g（x）成立，求m的取值范围；

分析：要注意分清一个变量还是两个变量。

分析：注意等价转化时逻辑连接词“且”与“或”的区别。

（3）若在x∈D上f（x）与g（x）的大小不定，则先解不等式f（x）＜g（x），得，使f（x）＜a＜g（x）成立其中