构造函数，突破难题

姜晓丽

[摘  要] 在2017年江苏省和山东省的最后一道数学题中，都对函数问题进行了考查，笔者仔细研究了这两道题，发现其中都用到了构造函数的知识，在此将这两道题放在一起进行分析，通过对比分析，找到其中的不同点.

[关键词] 构造;函数;单调性

构造函数类的相关问题是高考的重点、难点，若用常规方法解决这类问题，难免会走进死胡同. 构造函数的中心思想就是转化，将复杂的问题通过构造函数进行转化，起到化难为易、化繁为简的效果. 对于不同的问题，需要采用不同的方法进行函数的构造，做到具体问题具体分析，而这也是这类问题的难点所在.

真题呈现，提炼方法

1. 真题再现

（2017年江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a>0，b∈R）存在极值，且导函数f ′（x）的极值点为f（x）的零点. （极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求b關于a的函数关系式，并写出定义域;

（2）证明：b2>3a.

2. 试题解析

由于本文的内容主要是构造函数，所以对于第（1）问一笔带过，在此直接给出答案，具体过程不一一叙述.对于第（2）问，为了证明不等式b2>3a，可以尝试采用构造函数的方式来分析，构造函数h（a）=b2-3a，该函数含有a，b，可以求b关于a的函数式，并分析函数定义域，然后根据定义域来讨论函数h（a）的值域.

本题中第一问是第二问的铺垫，第二问的解决需要依托第一问的答案.本题的关键在于函数的构造，通过构造函数h（a）=b2-3a，可以充分利用第一问的解题结果. 根据函数的单调性以及相应的极值条件，可以判断不等式是否成立. 通过构造函数的方式，将不等式问题转化为函数问题，然后通过分析函数的值域来证明不等式恒成立，这是解决不等式问题的一种常规方法.

构造函数，事半功倍

对于求两个函数的交点个数问题，一般可以通过构造函数的方法去解决，通过新构造的函数，将原本两个孤立的函数结合到一起，再结合数形结合的思想，可以事半功倍地解决问题，下面的例题就是通过构造函数解决问题的典型.

（2015年江苏）已知函数f（x）=lnx，g（x）=0，0<x≤1，x2-4-2，x>1，那么对于方程f（x）+g（x）=1的实根个数为_______.

思路点拨：设h（x）=f（x）+g（x）=-lnx，0<x≤1，-x2+2+lnx，1<x≤2，x2-6+lnx，x>2，将问题进行转化，方程f（x）+g（x）=1的实根个数即为函数h（x）与函数y=1与函数y=-1的交点，利用相关的导数知识可以画出h（x）的图像，通过所作的图像，可以直观地看出h（x）与y=1和y=-1共有4个交点，所以方程f（x）+g（x）=1的实根个数为4个.

本题中通过构造函数的方法，得到h（x），从而将求方程f（x）+g（x）=1的实根个数问题转化为求h（x）与函数y=1和函数y=-1的交点个数，巧妙地将抽象的问题具体化，提高了解题的效率，起到了事半功倍的作用.

举一反三，拓展提高

构造函数不仅仅局限于解决不等式的证明问题，构造函数是高中数学中的重点内容，在2017年山东省的高考试题中，同样也出现了构造函数的问题.在山东省高考数学卷第20题中，需要用到构造函数的知识去解决问题，通过二次求导，判断函数的单调性，从而求出所构造函数的极值. 问题的难点在于构造函数的选择，需要根据题目中的具体情况进行分析和讨论.

（2017年山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx-sinx+2x-2），其中是自然对数的底数.

（1）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程;

（2）令h（x）=g（x）-af（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

思路突破：

（1）略;（2）本题的构造函数是直接给出的，所以问题的形式变得简单一些，但是本题中需要二次构造函数，对于求h（x）的极值，首先需要利用导数分析三角函数的性质，求导得h′（x）=2（ex-a）（x-sinx），可将其分成两部分进行分析，构造函数m（x）=x-sinx，并分析其单调性和值域;然后分析（ex-a）的性质，需要考虑参数a的取值范围，分a≤0和a>0两种情况.

问题解析：

（1）略;

（2）由题意可知h（x）=ex（cosx-sinx+2x-2）-a（x2+2cosx），因为h′（x）=2（ex-a）（x-sinx）. 令m（x）=x-sinx，m′（x）=1-cosx≥0，所以m（x）在R上单调递增. 当x>0时，m（x）>0;当x<0时，m（x）<0.

①当a≤0时，分析可知x=0时h（x）取得极小值，极小值为h（0）=-2a-1.

②当a>0时，h′（x）=2·（ex-elna）（x-sinx），由h′（x）=0得x1=lna，x2=0. 当0<a<1时，lna<0，分析可知x=lna时，h（x）取得极大值，极大值为h（lna）=-a·[ln2a-2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]，极小值为h（0）= -2a-1. 当a=1时，h（x）在（-∞，+∞）上单调递增，无极值. 当a>1时，lna>0，分析可知极大值为h（0）=-2a-1，极小值为h（lna）= -a[ln2a-2lna+sin（lna）+cos（lna）+2].

本题的函数形式以三角函数为主体，通过建立原函数的导函数，将复杂的导函数通过构造函数的方式分为两部分，对于h（x）的导函数，直接判断单调性存在一定困难，此时进行二次构造，构造出m（x），问题的形式简化了许多，再利用三角函数的性质，结合分类讨论的思想方法对问题进行充分简化，实现了化繁为简的解题效果. 三角函数性质掌握是解决三角函数综合题的基础，构造法、分类讨论等思想方法的合理使用是解题的关键，两者的有效结合可实现问题的准确作答，同时该种解题思想同样可以推广到同类型问题.

总结提高

构造函数相关的问题是高中数学中的重点与难点，在高考中一般以压轴题的形式出现，比如本文中分析的两道题都出现在江苏高考和山东高考的最后一题.对于这类难题，在构造函数时需要具体问题具体分析，要灵活变通，合理构造，不能拘泥于一种形式. 构造函数问题是对学生高中所学知识的全方位考查，在此将所学的知识融会贯通，所以对学生的基本数学能力提出了比较高的要求.