高中数学概念研究型学习案例研究

周福云

[摘  要] 概念教学是数学教学的基础，概念教学的途径是多元的. 课改与核心素养背景下，通过概念研究型学习的范式展开教学，可以提高概念教学的有效性. 在“集合”概念教学中，本着研究型学习的步骤展开教学，取得了较好的效果;在相关案例研究中，总结了概念研究型学习的相关注意点.

[关键词] 高中数学;数学概念;研究型学习;案例研究

概念教学是数学教学的基础，经由什么样的途径让学生掌握一个数学概念，是数学教学研究的基础性内容. 传统数学教学将概念理解为数学知识系统构建的基础，视作对生活事物进行数学抽象或数学逻辑推理的结果，因而概念教学中也更多的是由教师主导下的学生对生活事例的分析，或者是逻辑推理. 这样的教学，其好处在于指向性明确，学生在获得一个数学概念时，往往没有其他因素的干扰，教学的“效率”比较高. 而从学生数学学科核心素养的角度来看，这样的教学思路其实是教师主动地去除了学生在数学概念学习中可能遇到的障碍，因而学生的数学理解是单一的，数学学科核心素养的培养是难以真正发生的. 从21世纪初开始推进的课程改革强调研究性学习，强调学生在数学学习中的主体地位，强调数学知识构建过程的完整性，而研究性学习对于数学概念教学来说，更是具有奠基性的作用. 在此基础上，笔者开展了高中数学概念研究型学习的研究，取得了一些认识.

数学概念研究型学习的理解

基于高中数学概念的教学，并从理论上实现从研究性学习到研究型学习的概念理解转变，笔者经历了这样的思考：

初步思考：研究性学习是一个宏观概念，其更多的是理论指导性. 人们在界定研究性学习时，往往是指学生基于某种积极的学习态度，经历问题的发现、提出、分析、解决、评估等环节，从而实现数学知识构建的学习过程. 从理论上来看，这样的描述显然是概述型的，而数学教学实践需要的是具有操作意义的策略性内容，因而笔者提出了研究型学习的概念.

进一步思考：研究型学习是指在具体的高中数学教学中，通过一种类似于课型的类型划分，对数学概念的教学提出的具有操作性的学习范型. 概念研究型学习是指向学生的，是从学生的角度看数学概念的学习的，因而其通常应当具有这样的几个基本步骤：首先，研究一个概念学习所需要的支撑性知识;其次，研究一个概念学习所需要的经验性知识;再次，研究该数学概念所需要的逻辑推理;最后，研究数学概念的数学语言描述，即數学定义. 这四个步骤是指向学生的，教师做此四步研究，是为了给学生的数学概念构建提供更好的支撑，而学生的学习过程则相应的包括这样的几个过程：首先，在某情境（由教师创设）中生成概念描述的需要;其次，根据自己的已有知识或先前经验对研究对象尝试进行描述;再次，思考自己初步形成数学概念过程中的逻辑的严密性;最后，结合严格的数学概念的定义，反思自己运用数学语言的优点与不足，以为今后的概念学习奠定方法基础.

在这里，概念研究型学习有一种教学模式的思路，其作用在于让学生对数学概念的学习产生一个相对稳定的认知，只要在教学中教师不僵化地执行，那就不至于陷入模式化的窠臼，因而研究型学习就成为高中数学概念构建的有效途径.

数学概念研究型学习实践

这里，笔者以高中数学最基本的“集合”概念（包括元素、子集以及集合的其他相关性质，这里统称为“集合”）教学为例，来阐述笔者实施数学概念研究型学习的实践.

集合是高中数学学习的第一个重要概念，其是后续很多数学概念如函数等学习的基础;同时在高中数学学习之初就进行一次研究型学习，有助于学生从学习品质提升的角度理解数学学习，这样可以避免传统数学教学中过多讲授导致的学生对高中数学产生畏惧心理的现象. 具体的教学过程如下：

第一步，创设学习情境，让学生感知生活中的集合. 笔者给学生创设的情境有静态和动态两种. 静态的集合包括一个班的学生、一个组的学生、一个班男学生或女学生等，还包括0，1，2，…等数集，也包括其他一些集合事例，这里不一一赘述;动态的集合主要是操场上发布了“集合”的指令之后，许多学生汇聚成队伍，许多队伍汇聚成集体等（为了增强趣味性，还可以选择网络上那个一声哨子之后，许多鸭子集合到一起的视频）. 静态的集合是为了让学生通过对集合中元素（概念此时还没有出来，但已经可以作为学生思维加工的对象）来初步形成集合的表象;而动态的集合则是为了让学生的思维进一步靠向“集合”这个概念. 有此静态与动态的情境作为基础，笔者就向学生明确学习任务：集合是高中数学的一个重要基础概念，现在大家的第一个任务，就是用自己的语言去描述“集合”这个概念. 有了任务作为驱动，学生的思维就会聚焦到用语言描述集合概念上来：学生会去研究例子中的“群体”，也会研究“个体”，更会研究“群体”与“个体”的关系，而这些都是集合与元素概念形成的基础.

在这一步当中，情境的创设是适切的，问题的提出是及时的，因而学生对概念的研究也就顺利展开了，这是概念研究型学习的初始一步.

第二步，让学生尝试描述集合. 描述数学概念的过程，是一个学生将自己的数学知识与先前经验综合运用到新情境中描述新概念的过程. 从学习心理的角度来看，则是新的学习任务驱动学生有效调用已有知识与经验的过程. 由于“集合”这个概念在生活中本身就比较常见，因而学生在描述的时候更习惯于用生活语言来描述，如有学生说“集合就是一群物体”，有学生说“集合就是很多个体组成的群体”，还有学生说“集合就是将很多东西聚到一起”……这里教师要结合上述情境中的数集实例，让学生认识到数学上的集合与生活中的集合存在的区别. 事实上，学生在用纯粹的生活语言描述集合的时候，本身就有一种自我质疑的意识，用学生的话说“数学课上学的集合，不大可能是我们现在所说的意思”. 在实际教学中，要抓住学生的这一心理，驱动概念研究型学习进一步深入，比如说笔者就跟学生强调“数学抽象”的意识，提醒学生去掉情境实例中的非数学因素，真正从数学的角度来描述集合. 于是，学生就认识到在定义集合的时候，肯定需要忽视具体的事例的属性，不管是人，还是数，还是鸭，都需要抽象成一个具体的概念……

第三步，寻找数学语言. 任何数学概念都是通过数学语言来定义的，集合的概念也不例外，当学生剥离掉情境中具体事物的自然属性，只剩下数学属性的时候，“将研究对象统称为元素”“元素组成的总体叫作集合”的认识就会慢慢形成. 作为研究型学习，这个环节中的重点，是让学生比较数学语言与自己此前所用的生活语言的区别. 这种比较既是一种思维，也是一种数学方法，比较的目的就是发现自己所用语言与数学语言的区别，从而提升自己运用数学语言的能力. 事实上，在集合这一概念的研究过程中，当学生对“元素”这一概念进行反思时，他们会自然感觉到具体实例抽象之后用这个词来描述是更为准确的，而学生的这种感觉与此前讲授式教学中的学生反响是完全不一样的，传统教学中学生在接触到元素这个概念时，是非常难以理解的，他们无法理解一个具有化学意义的概念怎么在数学中成为一个基础性的概念. 而由于这一概念研究型教学的开展，学生对后面集合中元素的确定性、互异性、无序性的理解变得更加顺畅，对于集合之间的关系的理解也顺利很多.

因此，通过概念研究型的教學途径来让学生掌握一个概念，确实可以在学生的自主努力中化解曾经出现过的学习障碍. 因而，概念研究型学习，应当成为高中数学概念教学的重要选择.

数学概念研究型学习反思

作为一个一线教师作出的教学探索，概念研究型教学是研究性学习的产物，是更具操作性的教学策略. 在实践的过程中，笔者觉得还是有不少的地方需要注意的. 比如说，研究型学习往往是需要更长时间的，由于学生调用生活经验，学生的学前认知未必完整，因此不同层次的学生在研究的过程中，会有不同的想法与说法，这都是要在小组合作学习的过程中加以区分、鉴别、选择的，这肯定是需要时间的，这个时间是否值得花，又如何让研究的效率更高，这是需要在学生的研究型学习之后进行评价的，因而，研究型学习评价就是概念教学之后的一个重要工作，切不可因为学生已经顺利得出了概念，就忽视了教学效益的进一步提升.

再比如说，数学概念的构建，在不同的情境中，或者对于不同的学生个体，其过程并不会完全相同，尤其是在研究型学习的过程中，既然尊重了学生的主体性，那就要尊重学生在概念研究过程中产生的各种不同的认识，如何在课堂上有限的时空内，将不同认识导向同一个方向，这也是研究型学习中需要关注的具体问题. 笔者的经验是，遇到此类问题时，思考学生的答案与数学概念之间最短的联系，然后进行引导，这可能是效益最高的途径.

总之，高中数学概念研究型学习，是一个有效的概念教学途径，尤其是对于像集合、函数这样的基础概念而言，让学生有一个尝试研究的过程，可以让概念认识更深刻，同时也能提升学习品质与数学核心素养.